Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = \|э4 (х, у, Z) йїбазисн (21.146)
(с Snбазисн = $tj) аналогичен в электромагнетизме таким ситуациям с начальными значениями, когда магнитное поле везде равно нулю (антисимметричная по времени проблема начальных значений Брилля); сейчас же мы 'рассматриваем общий случай
^базиси ¦
Шесть метрических коэффициентов gi3 конформной 3-гео-нетрии, определенные с точностью до преобразований трех координат X1 и зависящего от положения общего множителя, несут 6—3—1 = 2 блока информации на точку пространства. В этом отношении они подобны компонентам магнитного поля .?*, дивергенция которого равна нулю. Соответствующий импульс поля ЭТем ~ (дополнение 21.1, стр. 142) имеет дивергенцию, определяемую плотностью заряда, и, таіким образом, также несет
два блока информации (вдобавок к заданной информации о плотности заряда) на точку пространства. (21.147)
Значение
конформной
3-геометрии
2
190 21. Вариационный принцип и начальные данные
Тензор
кривизны Йорка
Соответствующие
импульсы
В сравнении компонент SS и метрических коэффициентов есть некоторый недостаток. Последние больше похожи на потенциалы, чем на компоненты физически уместного поля.
Подходящей мерой «поля» в геометродинамике является тензор кривизны, HO как можно определить тензор кривизны для такой рудиментарной геометрии, как конформная 3-геометрия? Йорк [160] поднял этот вопрос и дал на него ответ. Тензор конформной кривизны Вейля [уравнение (13.50) и упражнение 13.13] тождественно равен нулю в трехмерном пространстве (упражнение 21.21), а в пространствах более высокой размерности не зависит ^ В собственном ^ 2 |_пРеДставлеНИИ j от множителя яр4, который
является функцией положения и на который умножаются метрические коэффициенты.
Ненулевую конформно инвариантную меру кривизны можно получить только в том случае, если взять производные высшего порядка (упражнение 21.22). Таким путем приходят к кривизне Йорка р“ь, обозначенной здесь Yab, т. е. к тензорной плотности со следующими свойствами:
Yab = Yba (симметрична);
Y% = 0 (след равен нулю);
YabI ъ — 0 (поперечна);
Yab инвариантна относительно зависящих (21.148) от положения изменений конформного масштабного множителя;
Yab = 0 тогда и только тогда, когда 3-геометрия является конформно плоской.
По выражению Йорка тензорная плотность Yab дает чистое представление спина-два 3-геометрии, внутренней по отношению к гиперповерхности 2. Тензорная плотность представляет собой аналог поля SS электродинамики на пространственноподобной начальной гиперповерхности одновременности и непосредственно несет физическую информацию о конформной 3-геометрии.
Кроме конформной геометрии (3) <, определяемой «потенциалами» gtjlglfs и измеряемой «компонентами поля» Yi3, необходимо также задать на гиперповерхности 2 соответствующие сопряженные импульсы:
каЬ = пЬа (симметричны); п“ = 0 (след равен нулю);
я“ь = 0 (поперечны) в случае, если в пространстве (21.149) отсутствует поток энергии; иначе
Jij1J = 8я (плотность потока энергии)0; два блока информации (в добавок к заданной информации о потоке энергии) на точку пространства.
§ 21.11. Определение 4-геометрии по методу Йорка 191
Может показаться, что важно указать, по отношению к какой из
3-геометрий, отличающихся друг от друга величиной конформного множителя, вычисляются в (21.148) и (21.149) ковариантные производные тензорных плотностей веса 5/3 (см. § 21.2). Однако Йорк показал, что условия (21.149) никак не зависят от величины конформного множителя тр4.
Выражения (21.149), для которых Йорк определяет «плотность импульса веса 5/3»,
Seb = *1* („Ч-4-SabSpя).
(21.150)
линеины, а потому их можно проанализировать стандартными методами. Большую помощь в этом деле также оказал Йорк [163]: он дал «конформно ортогональное разложение симметричных тензоров на римановых многообразиях», которое позволяет получить решения, удовлетворяющие предъявленным требованиям (импульсы «поперечны», «след равен нулю», «конформно киллин-говские», «след не равен нулю», измеряют соответственно деформацию конформной части геометрии, простое изменение системы координат и изменение масштаба). Дальнейшая помощь, как отмечает Йорк х), проистекает от того факта, что импульсы п“ь одинаковы для всего конформного класса эквивалентности метрик, т. е. для данного
= g~1/3gab.
gab
(21.151)
независимо от того, каковы сами gab и ip.
После того как конформная 3-геометрия и «плотность импульса веса 5/3» выбраны, оставшееся уравнение для начальных значений (21.116) принимает вид «масштабного» уравнения
8Т*тр - ‘si/ftp + Mxр-7 + фгр-8 - J- T2Tp6 = 0 (21.152)
и позволяет определить конформный множитель гр. Здесь V2 обозначает лапласиан
V2Ip == g-Ч* (д!дха) ^gab (дур/дхь). (21.153)
Подобно <3,Л, M и Q, он относится к базисному пространству. Интересно, что
V2--L(S)Jf
является конформно инвариантным волновым оператором, тогда как сам V2 не конформно инвариантен. В анализе Йорка MaQ — сокращенные обозначения:
