Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Мало решений уравнений Максвелла выглядит проще, чем бесконечная плоская монохроматическая волна в плоском пространстве-времени Минковского, и почти нет решений сложнее тех, которые анализируются на пространственноподобном сечении, проведенном произвольным образом в пространстве-времени и имеющем локальные колебания и волны, крупномасштабные выступы и выгибы и общие крупномасштабные кривизны. Каждый, кто хочет исследовать эволюцию электродинамики с многострелочным временем, не избежит этих усложнений, и никто не станет принимать усложнений, связанных с многострелочным временем, если он хочет видеть степени свободы электромагнитного поля в наиболее отчетливой форме. Он выберет простейшее из возможных времениподобных сечений. На этой гиперповерхности одновременности имеется 2 и только 2 координаты поля, 2 и только 2 импульса на точку пространства. Аналогично обстоит дело и в геометродинамике.
Если (в отличие от подхода, при котором анализируется динамика геометрии) хотят «распутать» степени свободы геометрии, то отказываются от задания трех информационных позиций на точку пространства, содержащихся в 3-геометрии (или в любом другом способе анализа геометродинамики, как это особенно видно в формулировке «внешнего времени» [112, 144]), и, следуя
УПРАЖНЕНИЯ
Вкратце о степенях свободы геометрии
2
188 21. Вариационный принцип и начальные данные
Выбор
гиперповерхности
максимального
собственного
объема
Случай открытой 3-геометрип
Йорку, 1) выбирают гиперповерхность одновременности макси* мального собственного объема и 2) на этой гиперповерхности одно-временности задают 2 «координатные степени свободы на точку пространства», содержащиеся в конформной части 3-геометрии.
В следующий единичный интервал собственного времени, измеренного нормально к гиперповерхности, элемент собственного объема gV»d*х на пространственноподобной гиперповерхности 2 испытывает относительное увеличение [см. фиг. 21.3 и уравнения (21.59) и (21.66)]
-SpK=-^-1Z2SpJT. (21.143)
Чтобы объем был экстремальным, данная величина должна равняться нулю в каждой точке гиперповерхности 2. Это условие выполнено во фридмановской Вселенной (гл. 27) и во Вселенной Тауба (гл. 30) при том значении естественной координаты времени t, при котором во Вселенной происходит переход от расширения к сжатию. Замечательно, что то же самое условие относительно выбора гиперповерхности одновременности 2 можно естественно сформулировать для замкнутой Вселенной, лишенной в целом какой бы то ни было симметрии:
Sp К = 0 или Sp я = 0. (21.144)
Альтернативно можно рассмотреть пространство-время, которое топологически представляет собой произведение открытого
3-пространства на действительную линию (время). Естественно предположить, что в нем локализована ограниченная пространственноподобная 2-геометрия S с топологией 2-сферы. Имеется тогда много способов заполнения внутренней по отношению к S области пространственноподобной 3-геометрии 2, но из всех этих 3-гео-метрий 2 только одна является экстремальной или только та, которая экстремальна, удовлетворяет условию (21.144).
Выбор этой 2-геометрии с топологией 2-сферы — немаловажное дело. Определенный выбор ограниченной 2-геометрии в данной
4-геометрии обычно дает определенные результаты для экстре-мизации 3-геометрии, а потому определеный выбор «начальной гиперповерхности одновременности» 2. Сразу не возникает никакого соображения, в силу которого следовало бы отдать предпочтение какому-нибудь одному выбору 2-геометрии. Однако если ограничиться рассмотрением замкнутой 3-геометрии, то такой безграничной свободы выбора не будет. Следовательно, анализ, проводимый по отношению к закрытой Вселенной, конкретизуется, т. е. его с уверенностью можно сделать полностью определенным в открытой области путем подходящего задания граничных значений на замкнутой 2-геометрии, ограниченной открытой областью. Вкратце ограничение замкнутой 3-геометрией означает, что вместо неочевидных граничных условий задается очевидное условие замкнутости.
§ 21.11. Определение 4-геометрии по методу Йорка 189
2
<=<»>< =
Анализ Йорка остается простым, если его внешнее время T = -|"g~l/2 Sp л = Y Sp К
имеет любое постоянное значение на гиперповерхности, а не только значение т=0, соответствующее гиперповерхности максимального собственного объема.
Начнем с задания конформной 3-геометрии на гиперповерхности одновременности 2, определяемой условием постоянства внешнего времени т = const:
класс эквивалентности всех положительно определенных римановых трехмерных метрик, которые эквивалентны друг другу 1) при диффеоморфизме (гладкий сдвиг точек к новым положениям в многообразии) или 2) при изменениях масштаба, которые происходят плавно от точки к точке, оставляя неизменными все локальные . (21.145) углы (отношения локальных расстояний), но меняя сами локальные расстояния, или 3) при одновременном выполнении преобразований 1) и 2)
Конформная З-геометрия является геометрическим объектом, который можно определить и интерпретировать без конкретного выбора системы координат и даже вообще без использования каких-либо координат. Конформная 3-геометрия (на гиперповерхности 2, где т = const) может рассматриваться почти так же, как рассматривается магнитное поле в электромагнетизме. Случай конформно плоской 3-геометрии
