Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 21.10. ПРОБЛЕМЫ СИММЕТРИЧНЫХ И АНТИСИММЕТРИЧНЫХ ПО ВРЕМЕНИ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Перейдем от общей проблемы начальных значений к двум специальным случаям, допускающим детальное рассмотрение, к проблемам симметричных и антисимметричных по времени начальных значений.
Говорят, что 4-геометрия симметрична по времени, если существует пространственноподобная гиперповерхность 2, во всех точках которой внешняя кривизна равна нулю. В этом случае три уравнения для начальных значений (21.127) удовлетворяются автоматически, а четвертое сводится к простому условию, наложенному на скалярный инвариант трехмерной кривизны:
R = 16пр. (21.132)
Дальнейшие упрощения возникают при переходе к случаю пустого пространства. Простейшим является сферически симметричный случай, в котором (21.132) немедленно дает всю геометрию Шварц-шильда в момент симметрии по времени (2 асимптотически плоских пространства, связанных горловиной), как это выведено в упражнении 21.20.
Рассмотрим 3-геометрию с метрикой
ds\ = gat іbdx'dx4. (21.133)
Назовем ее «базисной метрикой». Рассмотрим другую 3-геометрию с метрикой
&; = У (х1) dsl (21.134)
Углы в двух геометриях идентичны. На этом основании говорят, что они конформно эквивалентны. Скалярные инварианты кривизны двух 3-геометрий связаны формулой [11]
R2= — 8і|Г8Т^ + Г4Ді, (21.135)
где
Vfip =¦- 1I31 i1' = ^f1/* (д/дх1) [g^2?lft (chp/fla:*)]. (21.136)
Требуя, чтобы скалярный инвариант кривизны R2 был равен нулю, приходим, следуя Бриллю [155], к «волновому уравнению»
§ 21.10. Проблемы начальных значений 183
2
для поправочного конформного множителя гр
VJ ij) — (Ri/8) ? = 0. (21.137)
Брилль выбирает базисную метрику в виде, предложенном Бонди:
ds\ = C^Ag1(P1Z) (dz2 + dp2) + р^ф2, (21.138)
и считает, что поправочный конформный множитель -ф обладает аксиальной симметрией. В приложении к гравитационным волнам имее .1
(р, г) измеряет «распределение амплитуды гравитационной волны», предполагаемой для простоты равной нулю вне
Т — (Р2 + z2)1/z = a'i А измеряет «амплитуду распределения амплитуды гравитационной волны»;
(р, z) есть поправочный конформный множитель, который на больших расстояниях изменяется как I + (пъ/2г). Величина ш (см) измеряет массу-энергию распределения гравитационного излучения и однозначно определяется условием, согласно которому геометрия должна быть асимптотически плоской.
Масса т, гравитационного излучения пропорциональна Ab для малых значений амплитуды А. Она обратно пропорциональна приведенной длине волны X = (эффективная длина волны/2л), которая измеряет масштаб быстрых вариаций амплитуды гравитационной волны Q1 (р, г) в «активной зоне». Поэтому в активной зоне в метрике доминируют колебания, пропорциональные по амплитуде А, на больших расстояниях в метрике преобладает нечто близкое к шварцшильдовскому множителю (1 + 2m/г). При увеличении амплитуды А достигается критическое значение А = ^4крит, при котором пг стремится к бесконечности, а геометрия становится замкнутой («Вселенная, замкнутая собственным содержанием гравитационно-волновой энергии»). Дальнейший анализ и примеры можно найти в работе [36], стр. 399—451, а также в [154].
Брилль провел аналогичный анализ [157] антисимметричных по времени начальных условий для вакуумного случая, изложенный ниже в улучшенном Йорком виде 1J.
1. Начальное сечение максимально
Sp К = 0.
2. Это сечение конформно плоско
Si] = Л- (21.139)
3. Работа проводится в «базисном пространстве» с метрикой btj, и после этого совершается переход к геометрии (21.139). Три уравнения для начальных значений принимают вид
___________ К&шсн,, = 0. (21.140)
*) York J. W., Jr., частное сообщение, 1973 г.
Амплитуда волны определяет массу-анергию: m = m (А)
«Антисимметричные по времени» начальные данные
2
184 21. Вариационный принцип и начальные данные
Конечномерная динамика геометрии о высокой симметрией
Чтобы решить эти уравнения, 1) возьмем любой локализованный симметричный тензор Bhm, след которого равен нулю; 2) решим в плоском пространстве уравнение Лапласа для А
V2A = (aIi) O2BkJdJdxn-,
3) определим 6 потенциалов
^hm " Bhm -j- ^ -g- J A8hm,
4) вычислим величину
Ябаэисн = [ік-в] [jmn] OiAhmIdx* dx11, (21.141)
автоматически удовлетворяющую уравнению (21.140) и дающую
Sp Кбааисн = 0, В таком случае Ku = і]з~10 Ябазисн также автоматически удовлетворяет этим условиям, но в искривленной геометрии (21.139). Окончательное уравнение для начальных значений становится квазилинейным эллиптическим уравнением для конформного множителя ij) в плоском пространстве
SvSaBHCH1'!3 “Ь M3 7 S (-^базион, г;)2 = 0. (21.142)
i.l
Асимптотический вид показывает, что масса волны положительна.
Кроме симметричного и антисимметричного по времени случаев имеется по крайней мере еще два случая, когда проблема начальных значений обладает особой простотой.
В одном из них геометрия имеет симметрию, например фрид-мановской Вселенной (гл. 27), или перемешанного мира (гл. 30), или цилиндрических гравитационных волн в трактовке Кухаржа [111]. Старт берется на пространственноподобном сечении, на котором gij и пі; обладают специальной симметрией, а последующие пространственноподобные сечения выбираются так, чтобы сохранить эту симметрию. Хотя геометрия на любой из этих гиперповерхностей одновременности почти полностью определяется из соображений симметрии, обычно для полного определения требуется некоторое количество параметров, таких, например, как радиус фридмановской Вселенной или три главных радиуса кривизны в перемешанном мире. Эти параметры и сопряженные им импульсы определяют минифазовое пространство, в котором протекает динамика так же, как и в классическом случае (см., например, дополнение 30.1 и работы [158] о перемешанном мире, [111, 112] о волнах, обладающих цилиндрической симметрией, [159] о волнах со сферической симметрией). Даже доказательство существования многострелочного времени, наиболее характерного свойства общей теории относительности, опущено как плата за полное невнимание к любому пространственноподобному сечению, которое отклоняется от заданной симметрии.
