Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Функции хода и сдвига: вначале Определяются; позже ими можно свободно распоряжаться
12—01508
2
178 21. Вариационный принцип и начальные данные
подсчет
начальных
данных
Сколькими степенями свободы или сколькими «ручками» характеризуется 4-геометрия, которая должна быть получена? Метрические коэффициенты начальной 3-геометрии дали 6 чисел на одну точку пространства. Однако они были произвольными в пределах координатного преобразования, определяемого тремя функциями положения
X = X (х', у', Z'), у = у (X\ у', z'), Z = Z (х', у', Z').
Поэтому истинное число величин с любой физической информацией, приходящихся на точку пространства, было 6—3=3. Можно наглядно представить себе эти 3 функции как 3 диагональные компоненты метрики в системе координат, в которой коэффициенты gij приведены к диагональной форме. Обычно не представляется полезным идти дальше и развивать анализ в любой такой «стесненной обстоятельствами» системе координат.
Представим теперь, что рассматриваемая 3-геометрия погружена в 4-геометрию (4>*?, которая получается после интегрирований. Кроме того, будем полагать, что 4-геометрия <4,3? наделена выпуклостями, вогнутостями, колебаниями и волнами, отличающими ее от 4-геометрий другого рода и делающими столь нетипичными геометрию Минковского и специальные космологические модели. (Э>§ представляет собой сечение в (4)*/. Оно «чувствует» выпуклости, вогнутости, колебания и волны, присутствующие во всех областях которые оно пересекает. В той степени, в которой является типичным представителем своего класса, про-двйжение 3-геометрии (8>2? в другое место без превращения ее в другую 3-геометрию не допускается. Если попытаться толкнуть немного (3)S «вперед по времени» в определенном месте, то это с нёобходиМостью приведет к изменению В силу этого обстоятельства считается, что <*>& «несет информацию о времени» [151, 152]. Более того, «движение вперед по времени» требует для своего описания одного числа на точку пространства. Можно представить себе это число в конкретных терминах, вообразив «произвольную систему координат t, х, у, z, установленную в <4)*?. Затем можно принять, что гиперповерхность определяется тем значением t = = t (х, у, z), при котором она разрезает типичную линию х, у, z. Движение вперед переносит ее в г (X, у, z) + бt (X, у, z) и соответственно изменяет форму и метрические коэффициенты на <3)&. Обычно лучше не связываться с такой конкретной моделью, а скорее признать в качестве основного принципиального пункта, что
1) для характеристики положения (3)^ в пространстве-времени требуется одно данное на точку пространства и 2) волей-неволей это данное уже представлено в трех данных, приходящихся на точку пространства и характеризующих любую i3)S.
В заключение можно сказать, что количество данных, приходящихся на точку пространства в 3-геометрии (3)S и реально говорящих что-либо о (4)^/, в которую погружена или должна быть
§ 21.9. Формулировка проблемы начальных значений 179
2
погружена {3)& (в зависимости от того, где проводится сечение {3)& через эту <4)^), равно 2. Аналогично обстоит дело и для других <3)&, которые определяют другую «поверхность» тонкого или толстого сандвича. Поэтому заключают, что спецификация i3)S
и '3)§ в действительности дает четыре чистых блока динамической информации о <4)?/ на точку пространства (причем всю остальную информацию несет «многострелочное время», указывающее, где в (4)?/ локализованы 3-геометрии). Согласно этой линии рассуждения, геометродинамика имеет то же число степеней свободы, что и электродинамика. К такому же заключению приходят совершенно иным путем, анализируя в приближении слабого поля (§ 35.3) гравитационные волны на плоском пространственно-временном фоне: для гравитационных и максвелловских волн имеются одинаковые интервалы возможных волновых чисел, для каждого волнового числа — два состояния поляризации, а для каждой поляризации — одна амплитуда и одна фаза (эквивалент одной координате и одному импульсу).
В электродинамике в заданном пространственно-временном многообразии можно явно отделить одну временную переменную на точку пространства (если электромагнетизм рассматривается в контексте многострелочного времени) от двух динамических переменных на точку пространства. He так обстоит дело при формулировке геометродинамики в суперпространстве. Там в одном понятии 3-геометрии неразрешимым образом смешаны два рода величин.
Обратимся от начальных и конечных данных к интегралу действия, определяемому этими данными, и к принципу, согласно которому действие должно быть экстремальным:
I ~ -^экстремум : S
В электродинамике действие зависит от переменных на конечной гиперповерхности согласно формуле
5 = 5(2, В), (21.128)
а в геометродинамике — согласно формуле
S = S (<3>?). (21.129)
В каждом случае в аргументе функционала имеется три числа на
точку пространства (одно в 2, два в магнитном поле, дивергенция
которого равна нулю, три в (3>^).
Это смешивание в 3-геометрии одного многострелочного времени и двух динамических переменных делает нахождение подходящих начальных данных в общей теории относительности более трудным, чем в теории Максвелла. Для электродинамики было
