Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В алектрокагве» пеке ваяайте в качестве HA-
МЖІ.И1Я Д1ЮЫХ
магнитное пне и сиороеть его нвмененжя.
2
176 21. Вариационный принцип и начальные данные
Скалярный потенциал: «начале фиксирован; позже им можно овободно распоряжаться
В трактовке АДМ: задайте 3-геометрию а скорость ее изменения CO временем
определяет классический электрический заряд qw, связанный с этим винтовым отверстием. Чтобы полностью определить динамическую эволюцию электромагнитного поля, следует в дополнение к данным (21.118) и (21.219) указать раз и навсегда все эти заряды. Согласно [150], не существует геометродинамического аналога электрического заряда.)
5. При интегрировании не следует вычислять на каждом последовательном шаге по времени скалярный потенциал ф, его надо выбрать. Лишь после того как сделан определенный выбор, из динамических уравнений получаются определенные результаты для л4 и Ai или g* на каждом последовательном шаге.
Резюмируем проблему начальных значений электродинамики,
сформулированную для тонкого сандвича. Задаются Sk и SSi (или эквивалентно SB на двух соседних гиперповерхностях) и выби-
раются функции Ai и Ai, которые с большим произволом представляют эти начальные данные. Произвольно можно задать начальные функции Ai и Ai, при этом начальный потенциал ф не может быть произвольным. Однако во все последующие времена ситуация как раз противоположна: произволен потенциал ф, а три функции At не могут быть произвольными (как показывает интегрирование динамических уравнений).
В геометродинамике ситуация совершенно аналогична. Задаются источниками 1-параметрического семейства пространственноподобных гиперповерхностей, а именно:
<3>^ (0) задано, (21.122)
<з>? (0) задано. (21.123)
Далее поступают следующим образом:
1. Выбирают определенный набор координат Xі = (х, у, z) и в функции этих координат находят однозначные метрические коэффициенты gtj (х, у, z), которые описывают 3-геометрию. Существование решения гарантируется тем обстоятельством, что <Э)^ является римановой геометрией. Однако можно начать с различных координат и прийти к различным метрическим коэффициентам для описания той же самой 3-геометрии. Независимо от этого выбирают один набор координат, берут получающиеся метрические коэффициенты и придерживаются их как дающих половину требуемых начальных данных.
2. Аналогично, для описания 3-геометрии + i8)S dt при
значении параметра t + dt используют координаты Xі -f- x*dt и
приходят к метрическим коэффициентам gtj -f- Sijdt. Произвол в Xі разрешается поэтому законным образом, (8)^ дается как определенное начальное физическое данное и коэффициент gtj вследствие этого оказывается полностью заданным.
§ 21.9. Формулировка проблемы начальных значений 177
2
3. Напомним, что компоненты внешней кривизны KiJ или
импульсов Jtlj выражаются через gtj и gu и функции хода и сдвига NnNfC, помощью (21.67) или (21.67) плюс (21.91) или с помощью
(21.114). Таким образом четыре уравнения для начальных значений или уравнения «связей» (21.116) и (21.117) становятся четырьмя условиями для нахождения четырех величин N и Ni. Эти условия можно записать короче, вводя сокращения
Ъ) = т [Ni ,;+ Ni, <- dgtj/dt) (21.124)
и
у2 = («сдвиг аномалии») = (Sp \>)а — Sp у* (21.125)
(для функций х, у, z на начальной гиперповерхности одновременности). В таком случае имеем
<3>Д + уJNi = 16лTnn - 16яГпп (21.126)
для одного уравнения для начальных значений и rv? — SJ Sp Y -і [ ]1й=~8пГ» • <21Л27> для трех других уравнений.
Вкратце подытожим сказанное. Выбираются gtj и gtj, Которые с большим произволом (из-за произвольности координат, а не по причине какого-либо произвола в физике) представляют заданные начальные данные <3}& и Весь произвол в начальное время, таким образом, исчерпывается и ожидается, что начальные функции N и Ni, определяемые путем решения (21.126) и (21.127), уже не могут быть произвольными. Однако на всех более поздних пространственноподобных сечениях ситуация как раз противоположна: функциями хода и сдвига можно распоряжаться свободно, но если они однажды выбраны, шесть gu (и шесть Kii или л1;), получаемые при интегрировании динамических уравнений (21.114) и (21.115), уже не могут быть произвольными. Аналогия с электродинамикой ясна. Там одна «калибровочно-контролируемая» функция ф была фиксирована вначале эллиптическим уравнением (21.121), но начиная с этого времени была свободной. Здесь
4 функции хода и сдвига фиксируются вначале четырьмя уравнениями (21.126) и (21.127), но начиная с этого времени являются свободными.
В упражнении 21.16 уравнение для начальных значений (21.126) применяется для анализа полной эволюции во времени любой фридмановской Вселенной с уравнением состояния P = P (р), связывающим давление и плотность. В упражнении 21.17 ищется вариационный принцип на пространственноподобной гиперповерхности 2, эквивалентный по содержанию эллиптиче*-скому уравнению для начальных значений (21.121) скалярного потенциала ф. В упражнениях 21.18 и 21.19 ищутся аналогичные вариационные принципы для определения функций хода и сдвига.
