Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
достаточно задать 2 и ^ и j1 на 2. В геометродинамике задание
шести gij (х, у, z) и шести gt] (х, у, z) не является с необходимостью достаточным. Например, пусть временной параметр t — подделка,
12*
Четыре блока геонет ро динамической информации на одну про* страиот венную точку начальной гиперповерхности однбвременнооти
Проблема
обеспечения
полноты и
совместности
начальных
данных
2
180 21. Вариационный принцип и начальные данные
такая, что dt, вместо того чтобы продвигать данную гиперповерхность 2 вперед по времени к новой гиперповерхности 2 -{- d2, просто меняет координаты на рассматриваемой гиперповерхности
Xi-^Xi — dt, gii-+gti + (h\j + b\t)dt. (21Л30)
После первой проверки может показаться, что имеются адекватные данные в шести gtj и шести
Su = 5ц/ + Sfli- (21.131)
Однако в конце обнаруживается, что имеется не две поверхности тонкого сандвича, как. требуется, а только одна. Поэтому любой
набор шести gij, которые выражаются в виде (21.131), следует отвергнуть в общей проблеме динамики как некорректные данные [153].
Аналогичные трудности возникают, если две поверхности тонкого сандвича вместо полного совпадения совпадают в ограниченной трехмерной, двумерной или даже одномерной области («пересечение одной более ранней поверхности с другой более поздней поверхностью»). В таком случае, чтобы отвергнуть шесть gi} как неподходящие начальные данные, достаточно получить (21.131) даже на кривой в 2.
Возможность наложения условий на gtj и giS, гарантирующих существование и единственность решения N (ж, у, z), Ni (х, у, z), у уравнений для начальных значений (21.126) и (21.127), известна «догадка тон- как «догадка тонкого сандвича». Много исследователей вложило
кого сандвича» большой труд в эту тему, однако решающая теорема до сих пор
отсутствует. Предположить существование и однозначность — значит сделать первый шаг к приданию математического содержания принципу Маха, который гласит, что инерция определяется распределением массы-энергии по пространству (§ 21.12).
Дополнение 21.2. ПОДСЧЕТ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
А. Первый подход: количество «координат поля» на точку пространства
Поверхностный подсчет степеней свободы электромагнитного поля без источников дает 3 координаты поля Ai (х, у, z) на точку пространства, расположенную на начальной гиперповерхности одновременности 2, И 3 импульса ПОЛЯ Jt ИСТИН = = п‘/4л. [где л1 = —Si (х, у, z)\ на точку пространства.
Более глубокое рассмотрение показывает, что число координатных степеней свободы-.ка точку пространства равно не 3, а 2. Так, изменение векторного потенциала Ai -+Ai + Okldzi не меняет имеющих. действительный физический смысл
§ 21.9. Формулировка проблеми начальних значений Igl
компонент магнитного поля
= ^ [ijk] [OAJdxj- дAjlds*).
Кроме того, хотя число этих компонент равно 3, они удовлетворяют в каждое точке пространства условию SSiti = 0. Поэтому эффективное число координатные степеней свободы на точку пространства равно 2.
В силу условия ^iii = 0 число импульсных степеней свободы на точку про? странства также сводится от 3 к 2.
Б. Альтернативной подход: подсчет коэффициентов Фурье
В учебниках по теории поля (см., например, [134]) сосредоточивают внимание на плоском пространстве-времени. Электромагнитное поле с помощью анализа Фурье разбивается на отдельные бегущие волны. Вместо подсчета степеней свободы на точку координатного пространства проводят эквивалентный подсчет степеней свободы на точку пространства волновых чисел. Так, для каждого волнового числа кх, ку, кг имеется 2 независимых состояния поляризации. Для описания каждого состояния поляризации требуется амплитуда («координата») и скорость изменения амплитуды со временем («импульс») в начальный момент времени t'Q. Поэтому имеются 2 координатные и 2 импульсные степени свободы на точку пространства волновых векторов в согласии с подсчетом, выполненным в координатном пространстве.
В искривленном пространстве-времени анализ Фурье является менее удобным способом отождествления степеней свободы электромагнитного поля, чем непосредственный анализ в пространстве (такой анализ Фурье см. в [102], особенно табл. X и последующий текст).
В. Другой альтернативный подход: анализ «деформации структуры»
Третий способ подсчета степеней свободы электрического Щ или магнитного SS полей, дивергенции которых равны нулю, основан на идее деформации структуры
а б в
(диаграмма из работы Уилера [154]). Представление магнитного поля в виде фара-деевой картины силовых линий (а), непрерывно заполняющих пространство и нигде не оканчивающихся, автоматически гарантирует, что Jfriii везде равно нулю. Вставим в макароноподобную структуру силовых линий «вязальные спицы» (б) и будем
2
182 21, Вариационный принцип и начальные данные
двигать их по своему желанию. Скольжение «вязальных спиц» вдоль силовой линии не вызовет движения силовой линии. С помощью двух вязальных спиц, перпендикулярных друг другу и силовой линии, можно придать любой данной силовой линии любое малое смещение, перпендикулярное ее длине (в), т. е. вновь получаем 2 степени свободы на точку пространства. Начав с любого сколь угодно слабого ненулевого поля, можно с помощью последовательности таких малых деформаций построить любую произвольную картину поля, дивергенция которого равна нулю, независимо от величины поля и угла дуального поворота.
