Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 21.10. Проблемы начальных значений 185
2
21.16. Незатейливый человеческой способ создания космологии
Рассмотрите пространство-время с метрикой
(?2 = — dt2 + а2 (t) Idx2 + sin2 % (d6* + sin20#2)),
соответствующей 3-геометрии в форме сферы радиуса a (t), изменяющегося со временем. Покажите, что тензор внешней кривизны, будучи выраженным в локально евклидовой системе отсчета, равен
K = -A"1 (da/dt) 1,
где 1 — единичный тензор. Покажите, что уравнение для начальных значений (21.77) сводится к виду
(6/а2) (da/dt)2 -)- (6/a2) = Ібяр (а)
[о значении второго члена в левой части см. упражнение 14.3 и дополнения 14.2 и 14.5], и объясните, почему для «пылевидной модели Вселенной» член в правой части можно записать как
6а0/а*. В более общей форме, задавшись любым уравнением состояния р = р (р), объясните, как можно найти р = р (а) из
d (ра3) = — pd (а3)
и как в таком случае можно предсказать историю расширения и повторного сжатия, a = a (t).
21.17. Вариационный принцип тонкого сандвича для скалярного электродинамического потенциала
а. Выберите неизвестную функцию Vm в выражении
j „тп дф дф . jjm дф
8я ® дхт дхп ' дх™
таким образом, чтобы это выражение, умноженное на элемент
объема glhd3x и проинтегрированное по гиперповерхности одно-
временности 2!, экстремизовалось бы 6 и только таким ?, которое удовлетворяет уравнению для начальных значений электродинамики (21.108).
б. Покажите, что получающийся вариационный принцип не «взят с потолка», а следует непосредственно из принципа действия, сформулированного с помощью лагранжевой плотности электродинамики (21.100) (независимое варьирование ф и трех Ai повсюду между двумя поверхностями сандвича, необходимое для экстремизации I, подчинено лишь априорной спецификации A1 на двух поверхностях сандвича в пределе, когда толщина сандвича стремится к нулю).
УПРАЖНЕНИЯ
2
186 21. Вариационный принцип и начальные данные
УПРАЖНЕНИЯ
21.18. Вариационный принцип тонкого сандвича для функций хода и сдвига
в геометродинамике
а. Экстремизуйте интеграл действия
h= J {[R — (Sp К)2 + Sp K2 - 2Tln]\N - 2TthNk) g'Wx
относительно функций хода и сдвига и покажите, что таким путем приходят к уравнениям для начальных значений геометродинами-ки. Подразумевается, что на гиперповерхности одновременности, на которой проводится анализ, заданы шесть gi} и шесть dgtjfdt. Внешняя кривизна считается, как в (21.67), выраженной через эти величины и функции хода и сдвига. Как и раньше, в этой главе плотность энергии и поток энергии отнесены к единичному нормальному вектору п и трем произвольным координатным базисным векторам в; на гиперповерхности одновременности, а звездочка означает, что опущен множитель 8я.
б. Выведите вариационный принцип из вариационного принципа АДМ, переходя к пределу бесконечно тонкого сандвича (см. вывод в [36]).
21.19. Укороченный вариационный принцип тонкого сандвича
а. Экстремизуйте действие Ia из предыдущего упражнения относительно функции хода N.
б. Какова связь между результатом и принципом, что «3-геометрия — носитель информации о времени»?
в. Исключив N, получите «укороченный вариационный принцип тонкого сандвича», в котором единственными варьируемыми величинами являются 3 функции сдвига N1.
21.20. Незатейливый человеческий путг к геометрии Шварцшильда
На детерминистически эволюционирующее со временем искривленное пустое пространство наложите условия: 1) оно обладает моментом симметрии по времени, пространственноподобной гиперповерхностью, внешняя кривизна которой относительно окружающего пространства-времени везде равна нулю, и 2) эта пространственноподобная гиперповерхность обладает сферической симметрией. Запишите метрику 3-геометрии в виде
ds2 = лр4 (г) (<2r* + F2 dd2 + г2 sin2 Qdfz).
Покажите из уравнения для начальных значений (21.127), что конформный множитель \|з вплоть до мультипликативного множителя имеет вид = (1 + яг/2 г). Покажите, что собственная длина окружности 2ягф2 (г) при определенном значении г принимает минимальное значение, определяя таким образом горло 3-геомет-
§ 21.11. Определение 4-геометрии по методу Йорка 187
2
рии. Покажите, что 3-геометрия зеркально симметрична относительно^ отражения в этом горле в том смысле, что метрика не наменяет свой вид при подстановке г' = лга/4г. Найдите закон перехода от конформной координаты г к шварцшильдовской координате г.
§ 21.11 .ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4-ГЕОМЕТРИИ ПО МЕТОДУ ЙОРКА
Чтобы 1) иметь не конкретизованный, но полный набор начальных данных и, таким образом, 2) определить типичное для данного класса полное четырехмерное пространственно-временное многообразие, задайте на какой-либо или на определенной гиперповерхности одновременности экстремального собственного объема конформную часть 3-геометрии и две независимые компоненты динамически сопряженного импульса. Таково вкратце обобщение Йорка [145, 160] результатов Брилля, полученных для специальных случаев (см. предыдущий параграф). Йорк и Брилль подтверждают более ранние рассмотрения Лихнеровича [161] и Брухата (см. [162] и цитируемые там более ранние работы по конформной геометрии и проблеме начальных данных). Ho почему рассматривается именно конформная геометрия и выбирается такая особая пространственноподобная гиперповерхность, на которой надо задать четыре динамических данных на точку пространства?
