Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
174 21. Вариационный принцип и начальные данные
4-геометрия не вависит от выборе функций хода и сдвига
Начальные данные: чек можно свободно распоряжаться н что
фиксировано?
выбора ф (упражнение 21.14). Аналогично и в геометродинамике^ изменение выбора четырех функций N, Ni означает а) изменение формулировки координат в пространстве-времени и поэтому б} изменение результатов ДЛЯ внутренней метрики i3}gij и внешней кривизны Ki3 на последовательных пространственноподобных гиперповерхностях, но приводит к той же самой 4-геометрии <4,$ (фиг. 21.4) независимо от выбора координат (упражнение 21.15).
§ 21.9. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ТОНКОМ САНДВИЧЕ
Задавшись подходящими начальными данными, можно определить эволюцию геометрии, интегрируя вперед по времени. Ho что представляют собой «подходящие начальные данные»? Это 6 функций iS)gil (X, у, z) и 6 функций Uii (х, у, z) или Kil (х, у, z), которые совместно удовлетворяют четырем уравнениям для начальных значений (21.116) и (21.117). Требование задать координаты и импульсы соответствует хорошо известной схеме гамильтоновой механики, однако наложение на такие данные условий совместности или «связей» менее известно. Частица, движущаяся в двумерном пространстве, описывается координатами х, у и координатами рх, Py, однако частица, удерживающаяся на окружности хг + уг = а2г удовлетворяют связи хрх + уру =¦ 0. Поэтому наличие «связи» есть сигнал того, что система обладает меньшим количеством степеней свободы, чем система без связей. Полностью проанализировать 4 «начальных» условия или «связи» (21.116) и (21.117) означает, таким образом, определить 1) сколькими степенями свободы обладает геометрия и 2) каковы эти степени свободы, т. е. сказать точно, какие «ручки» следует приспособить, чтобы полностью управлять геометрией и ее эволюцией во времени. Подсчет, который можно провести сегодня, приводит к заключению, что геометрия обладает тем же количествомстепеней свободы, что и электромагнитное поле. Отождествление «ручек», или свободно выбираемых характеристик динамики, менее продвинуто для геометрии по сравнению с электромагнетизмом (дополнение 21.2), но более поучительно.
По правилам для отождествления степеней свободы поля Эйнштейна или поля Фарадея и Максвелла требуется лишь знать, что следует фиксировать на начальной и конечной пространственноподобных гиперповерхностях, чтобы сделать соответствующий вариационный принцип полностью определенным. В таком случае есть выбор либо 1) задать определенную величину на обеих гиперповерхностях или 2) задать эту величину и динамически сопряженную ей величину на одной гиперповерхности, либо 3) задать величину на обеих гиперповерхностях, как при первом выборе, но перейти к пределу бесконечно тонкого сандвича, т. е. к заданию величины и скорости ее изменения со временем на одной
§ 21.9. формулировка проблемы начальных значений 175
2
гиперповерхности. Для быстрого анализа проблемы начальных значений как в электродинамике, так и в геометродинамике третья процедура «тонкого сандвича» является простейшей. В качестве иллюстрации рассмотрим вначале электродинамику.
В общем случае на произвольной гладкой пространственноподобной гиперповерхности в искривленном пространстве-времени или в настоящем иллюстративном изложении на гиперповерхности ( = 0в пространстве-времени Минковского зададимся магнитным полем, дивергенция которого равна нулю, и скоростью его изменения со временем:
SSi (0, х, у, z) задано, (21.118)
& (0, х, у, z) = также задано. (21.119)
Совместно эти величины представляют собой 4 и только 4 независимых данных на одну точку пространства. Как теперь получить импульсы л1 ~ чтобы начать интегрирование динамиче-
ских уравнений (21.103) и (21.107) вперед по времени?
1. Найдем набор трех функций Ai (0, х, у, z), таких, что, взяв от каждой из них ротор, получим 3 указанные величины SSi. Это всегда можно сделать, так как дивергенция SS1,і равна нулю. Однако выбор А і неоднозначен. Новый набор потенциалов -Агнов = = Ai + ЗАJdxi с произвольным гладким к дает столь же хорошее решение, что и начальный набор Ai. Независимо от этого выберем одно решение и будем его придерживаться.
2. Аналогично найдем набор трех функций Ai (0, х, у, z), таких, что, ваяв от каждой из них ротор, получим указанные величины 3& і (0, х, у, z) и разрешим весь произвол в законном выборе.
3. Вспомним, что электрическое поле (импульс поля CO знаком минус) дается выражением
= -Ai - дф!дхК (21.120)
(формула справедлива без поправок только в плоском пространстве-времени). Уравнение для начальных значений или уравнение связи S4ii = 0 приводится к виду
Vа ? = — лiiAu. (21.121)
Найдем ф.
4. Тогда уравнение (21.120) дает начальное электрическое
поле, или электродинамический импульс поля Ui ~ необ-
ходимый (вместе с координатой поля A f) для начала интегрирования динамических уравнений (21.103) и (21.107). (Мизнер и Уилер [102] рассматривают дополнительные свойства, которые появляются, если пространство многосвязанно. Каждое винтовое отверстие или «ручка» геометрии способны захватывать электрические силовые линии. Поток, захваченный каждым винтовым отверстием,
