Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 21.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВПЕРЕД ПО ВРЕМЕНИ
В гамильтоновом формализме Арновитта, Дезера и Мизнера {Уилер [110, 148] цитирует много статей других авторов по квантованию общей теории относительности, в основном приводящих теорию Эйнштейна к гамильтоновой форме) динамика геометрии принимает форму, совершенно аналогичную гамильтоновой динамике геометрии. Там задаются в начальный момент времени координатой х и импульсом р и, чтобы найти эти динамически
2
УПРАЖНЕНИЯ
2
172 Вариационный принцип и начальные данные
Функции хода ¦ сдвига выбираются таким обравом, чтобы проводить интегрирование но времени наиболее удобным способом
сопряженные переменные во все будущие времена, интегрируют два дифференциальных уравнения первого порядка для dx/dt и dpIdt вперед по времени. Здесь на начальной пространственноподобной гиперповерхности задаются соответствующими значениями gi} и Uij и, чтобы найти геометрию во все будущие времена, интегрируют вперед по времени два уравнения первого порядка
(21.114) и (21.115). Например, в соответствии с хорошо известной теперь в современной гидродинамике практикой можно переписать дифференциальные уравнения в виде разностных уравнений и затем выполнить интегрирование на электронной вычислительной машине со значительной емкостью памяти.
Время в общей теории относительности имеет многострелочный характер и сильно отличается от времени в нерелятивистской механике частиц, которое имеет однопараметрическую природу (о многовременном формализме в релятивистской динамике системы многих взаимодействующих частиц см., однако, [149]). Изучающий геометрию может свободно толкать пространственноподобную гиперповерхность в одном месте вперед быстрее, чем в другом, пока гиперповерхность остается пространственноподобной. Эта свобода отражена на каждой стадии интегрирования t в функции хода N (t, х, у, z). Уравнения (21.114) и (21.115) — не канал для снабжения аналитика информацией о функции N. Они — канал, по которому аналитик выдает информацию об N. Выбор N — дело не Природы, а человека. До тех пор пока такой выбор не сделан, динамические уравнения не могут приступить к исполнению своей роли. «Временной параметр» t лишь обозначение, позволяющее отличить одну пространственноподобную гиперповерхность от другой в однопараметрическом семействе гиперповерхностей, а функция N выдает информацию о промежутке собственного времени, когда она меняется от одного места к другому между последовательными сечениями, на которых регистрируется эволюция геометрии во времени. Кинокамера может снять происходящее в данный момент времени только на один кадр, однако оператор, выбирая угол съемки сцены, может сильно увеличить возможности камеры. Так же и здесь с выбором сечения.
Для аналитика, особенно проводящего свой анализ на вычислительной машине, представляет интерес другой выбор. Пусть аналитик определяет с помощью уравнений (21.114), (21.115), записанных в виде разностных уравнений, происходящее на сетке точек, характеризуемых значениями х = . . ., 73, 74, 75, 76, 77, ... и т. д. Он находит, что наиболее сильно кривизны проявляются в локализованной области в интервале приблизительно от х = 83 до X = 89. Желая увеличить плотность индикаторных точек в этой области, аналитик заставляет точки с меньшими и большими значениями х с течением времени t = . . ., 122, 123, 124, . . . последовательно сдвигаться в эту область, причем индикаторные точки с меньшими значениями х он заставляет двигаться вправо (число N1 положительное), а точки с большими
§ 21.8. Интегрирование вперед по времени 173
F
> -----------^
ФИГ. 21.4.
Некоторые примеры из множества способов проведения отдельных пространственноподобных сечений через одну и ту же полную шварцпгальдовскую
4-геометрию <4>$.
значениями х — влево (число N1 отрицательное). Другими словами, аналитик в той же мере ответствен за выбор трех функций сдвига Nt (t, х, у, г), как и за выбор функции хода N. Уравнения не скажут ему, что выбрать. Он должен сказать об этом уравнениям.
Такая свобода выбора, отнюдь не усложняя динамических уравнений (21.114), (21.115), делает их в последующем рассмотрении податливыми и чувствительными к желаниям аналитика, какой бы геометродинамический процесс не изучался.
Свободу в выборе четырех функций N, Ni в общей теории относительности можно пояснить с другой стороны, сравнивая ее со свободой выбора в электродинамике одной функции ф (t, х, у, г), скалярного потенциала. Динамические уравнения Максвелла (21.103) и (21.107), обобщенные в упражнении 21.12, никоим образом не определяют ф. Вместо этого они требуют, чтобы потенциал ф был определен (аналитиком) как цена за предсказание эволюции во времени векторного потенциала At. При изменении выбора зависимости ф (t, х, у, z) от координат и времени изменяются получаемые из динамических уравнений результаты для эволюции во времени и пространстве трех функций Ak. Однако значения физических величин — электрических и магнитных полей на последовательных гиперповерхностях — не зависят от
