Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
BA1Idx1 — дАі/дх*, (21.110)
а не 3 компоненты А і самого потенциала? Когда лагранжева плотность (21.100) варьируется по отношению к Ai и вариация первого члена интегрируется по частям, как это необходимо для получения динамических уравнений, то на пределах получается член
j %lbAtd3x — j Гб Aid3X, (21.111)
у у
ввчальн конечн
Чтобы вариационная задача была полностью определена, требуется чтобы оба эти члена на пределах исчезали. Перейдем с помощью калибровочного преобразования от данного векторного потенциала к другому векторному потенциалу А інов
i^iHOB ~ = Ai + Bkldxi. (21.112)
Компоненты магнитного поля, определяемые тремя А ,нов, никак не отличаются от компонент (21.110). Более того, «вариация на пределах»
j UtSAi d3x — j g* dX/дх1 d3x = — j d3x (21.113)
для любого произвольного выбора Л автоматически обращается в нуль благодаря дивергентному условию (21.108). Поэтому на пределах фиксируются не 3 величины Ai (простые потенциалы), а физически значимые величины (21.110) — компоненты магнитного ПОЛЯ. Кроме ТОГО, дивергентное условие Ш,і = 0 становится теперь уравнением для начальных яначений, необходимым для определения потенциала ф.
Чтобы перейти от электродинамики к геометродинамике, необходимо только заменить в предшествующем абзаце «три Aib на «шесть gfj», «компоненты магнитного поля» на «3-геометрию '¦3)& » и «потенциал <р на «функции хода и сдвига N и N*».
Вернемся назад, имея в виду этот параллелизм, к вариационному принципу (21.95) общей теории относительности в формулировке ADM. Задавшись 3-геометрией на двух поверхностях сандвича, проварьируем для экстремизации действия условия между ними, т. е. проварьируем по очереди лі;, gtj и функции хода и сдвига. Геометродинамические импульсы появляются только в алгебраическом виде всюду в принципе действия, кроме члена —2Niivi\]. Варьирование и интегрирование по частям дает
Hb пределах двдшнн не потенциалы, а само
магнитное noxfr
Принцип АДМ воспроизводит формуху для * геометро динамического импульс»
2
Вывод
динамических уравнений а уравнений для ¦начальных значений ив •формализма АДМ
170 21. Вариационный принцип и начальные данные
2Ni і ;6лЧ Собирая коэффициенты при бпу и приравнивая их сумму нулю, приходим к некоторым условиям, необходимым ДЛЯ экстремума:
dguldt = g-iy- Sp я) + JVi, + iV; і і• (21.114)
Этот результат согласуется с результатом, следующим из уравнений (21.91), определяющих геометродинамический импульс через внешнюю кривизну, являющуюся, согласно выражению (21.67), функцией хода и сдвига. Результат (21.114) здесь не менее полезен, чем результат
dx/dt = дН (х, р)/др — р/т
в самой элементарной проблеме механики: он представляет собой первый шаг в расщеплении уравнения или уравнений второго порядка на вдвое большее число уравнений первого порядка.
Проварьируем теперь действие относительно gij и снова после соответствующего интегрирования по частям и перегруппировки найдем оставшиеся динамические уравнения первого порядка общей теории относительности [упрощенные с помощью уравнений (21.116) и (21.117)]:
SniiZdt = - Ngy2 (Rij - -I gijR) +1Ng-Vtgij (Sp rt* - і (Sp л)*) -
- 2Ng-1J* (nimnj - ~ nij Sp л) + g1/* (N10 - gijN' m| m) +
+ (nij Nm) lm-Ni^nmi-Nj imnmi +
+
члены, связанные с полями, а не с —'У геометрией, обсуждавшиеся АДМ [139], но опущенные здесь для простоты
(21.115)
В заключение, экстремизуя действие (21.95) относительно функции хода N и функций сдвига Ni, находим 4 так называемые уравнения для начальных значений общей теории относительности, эквивалентные (21.77) и (21.81), или G“ = SnTa:
-(1/16л)$?(я” gu) = (i/Sn)Ng-Vtgu + (21.116)
-(l/ібл) gij) = - (l/4n) [ijk] (21.117)
21.11. Первое применение вариационного принципа АДМ для электромагнитного поля
Экстремизуйте действие с лагранжевой плотностью (21.100) относительно g1 и выведите результат (21.103).
§ 21.S. Интегрирование вперед по времени, 171
'21.12. Второе применение вариационного принципа АДМ для электромагнитного поля
Экстремизуйте действие с лагранжевой плотностью (21.100) относительно Ai и проверьте, что получающиеся уравнения в любой плоской области Минковского.эквивалентны уравнениям <21.107).
21.13. Источник Фарадея — Максвелла в динамических уравнениях общей теории относительности
Вычислите члены с источниками, указанные в конце уравнений (21.115), из лагранжиана (21.100) максвелловской электродинамики, рассматриваемого как функция Ai и g,j.
21.14. Выбор ф не имеет значения
Докажите сделанное в тексте утверждение, что динамическая эволюция электрического и магнитного полей не зависит от выбора скалярного потенциала ф (t, х, у, г) а) в плоском простран-стве-времени в координатах Минковского и б) в общей теории относительности; при этом следуйте уравнениям(21.103) и (21.107), обобщенным в упражнении 21.12.
21.15. Выбор сечения пространства-времени не имеет значения
Задавшись метрикой l3)gtj (х, у, z) и внешней кривизной Kii (х, у, z) на пространственноподобной гиперповерхности Ї, предположив, что эти величины удовлетворяют уравнениям для начальных значений (21.116) и (21.117), и задавшись также двумя альтернативными выборами функций хода и сдвига (N, Ni) и (N + SN, Ni + 6Ni), покажите, что сама кривизна в точке сcJ3 (определяемая своими компонентами в этих двух отдельных системах координат), вычисленная с помощью динамических уравнений (21.114) и (21.115) «малым отходом» от гиперповерхности (в первом порядке по малым величинам), не зависит от этого выбора функций хода и сдвига.
