Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ИСТИН
(1/16я) j [nlldgij/dt — NSS (лі;, gij) —
-NiSSi (лі;', gu)] &х+ j Xaoaa frx. (21.95)
(l/8n) (.Ea — B2) -> —(l/ien)*VvFi«, (21.96)
где
Fiiv = dA Jdx^ — dA Jdxv,
(21.97)
Вариация лагранжиана относительно независимых динамических переменных поля — четырех потенциалов Aa — приводит тогдв
21.7. Формулировка динамики геометрии 167
2
непосредственно к четырем волновым уравнениям второго порядка в частных производных для этих четырех потенциалов. Однако как для электродинамики, так и для геометродинамики удобно вместо этого иметь большее число уравнений первого порядка. Ищем аналог гамильтоновых уравнений динамики частицы
dx/dt = дН (х, р)/др, „
dp/dt = — дН (х, р)/дх.
Эти уравнения получаются в результате замены интеграла Лагранжа j L (х, х) dt интегралом Гамильтона j [рх—H (х, p)]dt.
Таким же образом здесь подынтегральное выражение действия (21.96) заменяется величиной для плоского пространства-времени:
(1/4л) [Л,. +1 Vlv]. (21.99)
В действительности пространство-время следует считать не только искривленным, но также и разрезанным на пространственноподобные гиперповерхности. Это (3 + 1)-расщепление геометрии делает желательным расщепление 10 геометродинамических потенциалов на 6 gi] и 4 функции хода и сдвига. Аналогично и здесь 4 потенциала ЛR расщепляются на 3 компоненты векторного потенциала Ai и скалярный потенциал A0 = — Ф (знак выбирается таким образом, чтобы в плоском пространстве-времени в системе координат Минковского ф = A0). В этих обозначениях, учитывая стандартный множитель плотности (—<4>g) 1Zs и опуская полную производную по времени (d/dt) (Ai g*), которая не влияет на уравнения движения, лагранжеву плотность можно записать в виде формулы
4п^полв = DAiIdt -f- фШ^.і “
-INg-1^glj (MiMi + 38к&) + Ni [ijk] (21.100)
Здесь использован символ альтернирования U/A], который определяет изменение знака при перестановке двух любых индексов и нормирован так, что [123] = 1. Отметим, что 3-тензор в1Л и символ альтернирования [ijk] связаны почти так же, как свяэаны соответствующие четырехмерные объекты в уравнении (8.10), поэтому можно записать
&=\[Ш (Ahtj-Aj, й). (21.101)
Величины Sfi — компоненты магнитного поля на пространственно-временном сечении. Они не считаются независимой переменной,
& полностью заданы выбором трех потенциалов Ai. Обратный случай выполняется для компонент электрического поля Jgi: они, подобно импульсам, трактуются как независимые переменные.
Экстремизация действия относительно (упражнение 21.11) дает аналог уравнения dx/dt = plm механики частицы и аналог
Лагранже ва плотность эдектрокагввт-ного ПОЛЯ
2
168 21. Вариационный принцип и начальные данные
Уравнение XJU ввчшшх аначекжй в алектрокагне» Tiwe
Экстремизация относительно Ф приводят R дивергентному выражению
Принцип действия
указывает, что следует фиксировать на пределах
уравнения
E1 = — дА Jdt — дф/дх' (21.102)
электродинамики в плоском пространстве-времени, а именно
-BAiIdt -ф.і- Ng-1^gani-UjkW3Sh = 0. (21.103)
Здесь последний член, содержащий функции сдвига N3, возникает из-за косоугольности системы координат. Арновитт, Дезер и Миз-нер дают следующие дополнительные, но эквивалентные способы получения результата (21.103):
= Y [І/А] { Y [/A(iv] (- <4>?)l/l <V“'Vp^aS } . (21.104)
Они отмечают, что %3 и SS3 не являются непосредственно контра-
вариантными компонентами полей на гиперповерхности одновременности 2
E = EtBi4 В = B’ej, (21.105)
а представляют собой контравариантные плотности
= gVitf, SS3 = gl^Bj. (21.106)
Экстремизация действия относительно трех Ai (упражнение 21.12) дает в искривленном пространстве-времени аналог уравнений Максвелла
dEldt = VxB. (21.107)
Оставшийся потенциал ф входит в принцип действия только в одной точке. Экстремизация относительно него немедленно приводит к дивергентному выражению для свободного электромагнитного поля
= 0. (21.108)
Если принцип действия сам указывает, какие величины следует фиксировать на пределах, то какие указания на этот счет дает (21.100)? Можно вернуться назад к примеру механики частиц
в гамильтоновой форме (см. дополнение 21.1) и отметить, что
здесь на пределах должна фиксироваться только координата х,-а импульс р мог бы «развеваться на ветру». Поэтому вариация действия была равна
81 = 8 j [рх — H (ж, />)] dt =
= j {[х — дН/др] 8р + (d/dt) (р8х) -f- [ — р — dH/dx] бж} dt.
(21.109)
Чтобы прийти к полностью определенному экстремуму интеграла действия I, недостаточно было приравнять нулю коэффициенты в квадратных скобках при 6р и 8х, т. е. потребовать выполнения
§ 21.7. Формулировка динамики геометрии 169
2
гаиильтововых уравнений движения. Необходимо было вдобавок приравнять нулю величины на пределах (рбх), т. е. задать х в начале и в конце движения. Аналогично и здесь. Величины ф и %к могут «развеваться на ветру», однако магнитное поле должно быть задано на двух поверхностях сандвича, чтобы можно было говорить о полностью определенном экстремуме действия. Почему следует задавать магнитное поле, т. е. 3 величины
