Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
— 2 [(— (4,g)1/2 (га“' Sp К + о“')],а'* (21.88)
где а' означает общие координаты (см. упражнение 21.10) и
a“' = ra“';fj.nP' (21.89)
—4-ускорение наблюдателя, движущегося по времениподобной нормали п к последовательным сечениям.
§ 21.7. ФОРМУЛИРОВКА ДИНАМИКИ ГЕОМЕТРИИ ПО АРНОВИТТУ, ДЕЗЕРУ И МИЗНЕРУ
Дирак (см. [146,. 147] и цитируемые там более ранние работы) сформулировал динамику геометрии в (3 1)-мерной форме, обобщая скобки Пуассона и гамильтоновы уравнения. Взамен Арновитт, Дезер и Мизнер сделали основой динамики геометрии
J§ 21.7JФормулировка динамики ееометрии 165
2
вариационный принцип Гильберта — Палатини. Мы будем следовать здесь подходу АДМ [139] ввиду его простоты. Перепишем гравитационную часть подынтегрального выражения в принципе действия Гильберта — Палатини в сжатой, но стандартной форме (учитывая множитель 16я, который АДМ опускали, так как использовали другие единицы):
Ібя^истии. геом = ^геом. АДМ = Sijdn1Idt'
-NSe-Nimi-2 [JiiiAO-YiV4Spя + ^li0?)1/а] с (21.90)
Здесь каждое обозначение имеет особый смысл и будет играть свою особую роль:
(«геометродинамический импульс ПОЛЯ»,' динамически сопряженный \ _
«геометродинамической I
координате поля» gl} >
= Ir5 ЛІІ = Slh (gij Sp к -Kii) (21.91)
(здесь импульс піз, используемый АДМ, обычно более удобен,
ЧЄМ 71цстив)>
<%стин = SS (л истин і gij) = («супергамильтониан») = SSIiGnm, SSinii, gu) = ( -g)y' (Sp я*- I(Spn)2) -g4*R- (21.92)
Ібпс^истин = SSi-SSt (п%3, gtj) = («суперимпульс») = — 2n'ft|fe.
(21.93)
Здесь при образовании ковариантной производной величина п'н трактуется как тензорная плотность, что следует из определения этой величины (21.91) (см. также §21.2). Величинами, которые следует варьировать для экстремизации действия, являются следующие коэффициенты в метрике 4-геометрии: шесть gtj, функция хода N и функция сдвига Ni, а также шесть «геометродинамических импульсов» п'3. Чтобы проварьировать эти импульсы, а также метрику, необходимо 1) следовать картине элементарной гамильтоновой динамики (дополнение 21.1), где, считая импульс р и координату х независимыми переменными, приходят вместо одного уравнения Лагранжа второго порядка к двум уравнениям Гамильтона первого порядка, и 2) следовать в некоторой мере вариационному принципу Палатини из § 21.2. Там, однако, надо было варьировать 40 коэффициентов связности, а здесь — только 6 піз. Знать эти импульсы и 3-метрику — значит знать внешнюю кривизну. Прежде чем выполнять варьирование, опустим в (21.90) дивергенцию —2[ ],,-, поскольку она приводит только к поверх-
ностным интегралам, а потому никоим образом не влияет на уравнения движения, которые следукт из вариационного принципа.
Импульсы, сопряженные динамических переменным g.j
166 27. Вариационный принцип и начальные данные
Перепишем также первый член в (21.90) в виде
— (d./dt)(guni3) + nw dgufdt
(21.94)
Принцип
действия гласят: задай 3-геометрню на каждой поверх* яости сандвича
Описание
З-геожетрии
Импульс, сопряженный «координате поля»,— пример ¦га электромагнетизма
и опустим в вариационном принципе полную производную по времени, поскольку онх не имеет отношения к получающимся уравне-ниям движения. Принцип действия примет теперь вид
Здесь, как всегда, принцип действия сам говорит нам, что следует фиксировать, чтобы действие было цолностью определено (если действие обладает экстремумом). Помимо соответствующих потенциалов, связанных с полями, а не с геометрией, с первого взгляда кажется, что единственными величинами, которые следует фиксировать на начальной и конечной гиперповерхностях, являются значения шести gij. Однако принцип действия АДМ инвариантен относительно любого изменения координат Xі, хг, т? -+Xі, х2, а? на последовательных пространственноподобных сечениях. Поэтому величинами, которые действительно должны быть заданы на двух поверхностях сандвича, являются 3-геометрии {3)&' (на начальной гиперповерхности) и <3)§ (на конечной гиперповерхности) и ничего больше.
Согласно математической терминологии, 3-геометрия (3>2? представляет собой «класс эквивалентности» набора дифференцируемых многообразий, которые изометрически эквивалентны друг другу при дифеоморфизмах. Согласно терминологии обычного физика,
3-геометрия есть класс эквивалентности 3-метрик gtj (х, у, z), которые эквивалентны друг другу при преобразованиях координат. Используя более повседневные термины, можно сказать, что два автомобильных крыла имеют одну и ту же 2-геометрию, если они имеют одинаковую форму, независимо от того, сколько координатных штрихов, нарисованных на одном крыле, отличается от координатных штрихов, нарисованных на другом крыле.
В качестве примера лагранжиана поля в уравнении (21.95), который физически уместен и в то же время не содержит ненужных усложнений, рассмотрим лагранжиан свободного от источников электромагнитного поля. Можно выбрать лагранжиан поля, который имеет классическое максвелловское значение
экстремум = /истин = /адм/1 6 JT =
