Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
а. ?ag\n.\ — M|i; V “Ь Uvl ц,
б. Жu Ofnv “Ь U11Uv) u (lYliv) = U|i; V "Ь ^v; |х “Ь Ujittv “Ь ®|iUv,
где 1Y11V — метрика пространственноподобной гиперповерхности, выраженная в пространственно-временном координатном базисе, и a" = U^Vx и» — вектор кривизны (4-ускорение) времениподоб-ных нормальных кривых с касательным векторным полем и*. (Напомним, что = 0.)
в. Докажите, что тензор внешней кривизны равен
^iiv = ~2 IfuYliV.
г. Проекция единичного тензора на гиперповерхность определяется выражением
_Lv =Sv+ Ui1Uv.
На основе определения проекции _]_ покажите, что можно записать ua;p — ^aP ~* Шар — ааир,
11-01508
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
162 21. Вариационный принцип и начальные данные
где
Кар= JLa-Lp^(Iijv)
H
40Ctp = — -La-L fS,U[ц; vj*
д. Покажите, что если и11 — единичное нормальное векторное поле семейства пространственноподобных гиперповерхностей, то ®ар = О»
е. Теперь необходимые средства у нас в руках. Для получения результата поступите следующим образом:
1. Выпишите XuKviv (см. упражнение 21.8).
2. Вставьте это выражение в тождество Риччи, записанное в виде
UaVoVnUv = UaVliV0Uv + iitRpvtl0UaUft.
3. Используя проекцию _L, спроектируйте два оставшихся свободных индекса на гиперповерхность и получите
±а± Pf4l-RnvpoWvWtl =M Ка» + KayKl + {8>V<a«P> + «авр,
где, как можно показать, <8)Vaap — -La-LpVцОу — трехмерная ковариантная производная от ар. Покажите, что в гауссовых нормальных координатах отсюда следует
Rot о) = Ku+ KihKj.
ж. Наконец, для построения lt)R необходимо показать, что
V“v [<3)V(H^v) + OllOvJ = g“v [<3*V(llav; + V*vl = аКЛ’
21.10. Тензор «'IlUn как функция
внешней кривизны плюс ковариантная дивергенция1*
Пусть a' — произвольный гладкий набор четырех координат, не обязательно каким-либо образом согласованный с выбором !-параметрического семейства гиперповерхностей.
а. Покажите, что
<4)#nin = fpfrfi' (/?'; Р'Г — »a'; v'P*)«
б. Покажите, что ковариантные дивергенции
{тРпГ. p.);V'
и
— (reP'wV';v,).p,
1) Упражнение составлено К. Кухаржом.
§ 21.6. Принцип действия Гильберта и его модификация 163
можно устранить из этого выражения таким образом, что оставшееся выражение будет содержать только первые производные вектора единичной иормали п.
в. Замечая, что базисные векторы бг и я образуют полный набор, обоснуйте формулу
gP'M' = efV»*' + (и • и)-1 пР'п*',
где со*— 1-форма, дуальная Oj-
г. Замечая, что
Л<х'; Р'Ла' = П
H
Kl)= — Єі<х'И“';Р'еГ»
покажите, что
<4)#nin = (Sp К)2—Sp K2 + ковариантная дивергенция.
§ 21.6. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ГИЛЬБЕРТА И ЕГО МОДИФИКАЦИЯ АРНОВИТТОМ - ДЕЗЕРОМ - МИЗЙЕРОМ, КОТОРЫЕ ИСПОЛЬЗОВАЛИ РАСЩЕПЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ НА ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ
К счастью, для анализа динамики не надо стремиться получить недостающую формулу для Существенно, однако, энать
лагранжеву плотность в принципе действия Гильберта
16я?геом = (“ <4,*)1/г (“Д. (21.83)
являющуюся сердцем всего динамического анализа. В современных обозначениях АДМ [139] эта плотность имеет вид
(— <4)g)1/s (4>Д = ( — (4)*)1/г [“»#% + 2<4)Д*"„] =
= (-<4,?)Vi (-R H- (п * и) (Sp К2— (Sp К)2) + 2(пи )<4>і&„]. (21.84)
Кухарж [144]*) (см. также упражнение 21.10) показывает, как вычислить достаточную часть этой величины, не вычисляя ее полностью. Разность между «достаточной частью» и «целым» равна производной по времени плюс дивергенция; последняя имеет вид
[(_(4»g)va«];a = (-<4>*)‘/« Л“;а. (21.85)
1JJIeKUHH [144] входила в курс теории относительности, читавшийся ® Принстонском университете.
и*
2
УПРАЖНЕНИЯ
Принцип АДМ можно получить из принципа действия
Гильберта, опустив в последнем полную производную
164 21. Вариационный принцип и начальные даннне
Если умножить (21.83) на dtdxlda?d3? и проинтегрировать, чтобы получить интеграл действия, то член (21.85) сводится к поверхностному интегралу. На величину этого интеграла не влияют вариации геометрии, внутренней по отношению к данной поверхности. Следовательно, если опустить член (21.85), то это не повлияет на уравнения движения. Результат вычисления (упражнение 21.10) прост: после отбрасывания дивергенции измэняется знак членов
в SpK* и (SpK)2 в (21.84). Таким образом, вариационный принцип
принимает вид
(экстремум) = -^модифицирован = J Ж модифицирован^*"*' =
= (1/16я) j [Я + (п¦ n) ((Sp К)2 — Sp К2)] Ng1/* dt d3x +
-)- J <55полей (IllX. (21.86)
Выражение (21.86) в перефразированной форме представляет отправную точку для анализа динамики геометрии по Арновитту, Дезеру и Мизнеру.
Следующие два добавления из статьи Йорка [145] (см. также
упражнение 21.9) усиливают геометрическое понимание выше-
приведенного анализа. Первое'. Наиболее естественно определить тензор внешней кривизны в виде (см. также [1421)
K=-yJ?„g, (21.87)
где g — метрический тензор 3-геометрии, п — времениподобное единичное нормальное поле, JS — производная Ли, определенная в упражнении 21.8. Второе: Дивергенция (21.85), которую следует добавить в лагранжиан (21.86), чтобы получить лагранжиан Гильберта, равна
