Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
х) Уравнение (10) из работы Сакса [25] обобщено здесь на случай, когда единичная нормаль п не обязательно времениподобна. Сакс использовал П = д/д(.
§ 21.5. Внутренняя и внешняя кривизна 159
2
ную длину вдоль этих геодезических. Неудивительно, что в специализированных таким образом координатах ответ выглядит просто:
<«Я" (п nw ( aKik ¦ к кп\ ( гаУссовы нормальные \
Kivk = (n-п) [-^-+KimKkJ. У координаты )
(21.82)
Если вместо гауссовой нормальной системы координат взять систему координат Арновитта, Дезера и Мизнера, то в (21.82) появятся дополнительные члены. Координаты АДМ используются здесь потому, что они поаволяют анализировать динамику так, как хочется анализировать динамику: сдвигая свободную пространственноподобную гиперповерхность вперед по времени с различными скоростями в различных местах («многострелочное время»). Фишер и Марсден [142] показывают, как, применяя понятие производной Ли тензорного поля, введенное в упражнении 21.8, получить такие формулы и понять их геометрическое содержание не зависящим от координат способом.
21.4. Скалярный инвариант кривизны как функция дефицита площади
Если бы Земля была плоская, то при расстоянии в 10 ООО км от Северного полюса до экватора мы получили бы 62 832 км для длины «экватора» в противоположность действительной длине экватора 40 ООО км. Это различие отражает тот факт, что поверхность искривлена в замкнутую конфигурацию. Обратимся от этой «псевдопроблемы» к истинной проблеме, 3-сфере:
ds2 = а2 Idyj1 sin2^ (^Q2 + sin2 Bdtjt2)].
Измерьте, отправляясь от % — 0, 2-сферу с собственным радиусом е = а%. Определите собственную площадь этой 2-сферы как функцию %. Проверьте, что соотношение (21.50) для дефицита площади дает в пределе е -»-0 правильный результат R = 6/а2. Сделайте более претенциозное упражнение: 1) возьмите общую (гладкую) 3-геометрию; 2) выразите метрику вблизи любой выбранной точки через римановы нормальные координаты, приведенные в § 11.6; 3) определите в наинизшем интересующем порядке по е геометрическое место точек, расположенных на собственном расстоянии е, в зависимости от сферических полярных углов 0 и ф (направление начала геодезической длины е); 4) найдите в наинизшем интересующем порядке по е собственную площадь фигуры, определяемой этими точками, обосновывая тем самым (21.50) (подробнее об этом см., например, [6], стр. 252—256).
УПРАЖНЕНИЯ
2
160 21. Вариационный принцип и начальные данные
УПРАЖНЕНИЯ
21.5. Тензор внешней кривизны для сечения фридмановской геометрии
Подтвердите результат (21.70) для внешней кривизны прямым расчетом, используя формулу (21.67).
21.6. Вычисление (ej, Bh) п
Вычислите эту величину в модели (21.74) или другим путем. Как можно заранее предугадать, что коэффициент при п в окончательном результате должен тождественно обращаться в нуль? Сравнивая коэффициенты при em, найдите (4'Bmnjk и убедитесь, что результат эквивалентен (21.76).
21.7. Вычисление коммутатора [е^, п]
Вычисление этого коммутатора — первый шаг к расчету величины типа п)Є(. Выразив В) в виде дифференциального оператора
д!дз?, используйте (21.49), чтобы представить п также в виде дифференциального оператора. Покажите таким способом, что рассматриваемый коммутатор имеет величину
-(NjfN)n-(NmJN)Bm.
21.8. Производная Ли от тензора1)
Определите производную Ли от тензорного поля и исследуйте некоторые ее свойства. Производная Ли в направлении векторного поля п есть дифференциальный оператор, который действует на
тензорные поля T типа ( ^ > превращая их в тензоры JSnT также
типа ( ^ ¦ Процесс дифференцирования Ли подчиняется обычному
цепному правилу и имеет аддитивные свойства [ср. уравнения (10.26) — (10.2г) для ковариантной производной]. Для скалярных функций / имеем ?nf = п[/1 = f.yPP- Производная Ли от векторного поля и по направлению векторного поля V была определена в упражнении 9.11 как
JSuV= [U, V].
Если определить действие JJn в 1-формном представлении, то просто перейти к тензорам общего типа, поскольку последние всегда можно разложить на сумму тензорных произведений векторов и 1-форм. Если а есть 1-форма и v-вектор, то тогда JJnO определяется как 1-форма, удовлетворяющая равенству
(?По, ?> = и [{а, V)] — (о, [п, ?])
для произвольного V.
1) Упражнения 21.8 и 21.9 составил Йорк (York J. W., Jr., частное сообщение, 1972 г.).
§ 21.5. Внутренняя и внешняя кривизна. 161
2
а. Покажите, что в координатном базисе
ZnO = (Pa, ргар + ОцгеВ.а) dx“.
б. Покажите, что в координатном базисе
= (TaР, ьп» + Т^п».а + TavJi*,р) dz“ <8 dxP,
где T — тензорное поле типа ^ ^ )•
в. Покажите, что в «а» и «б» все частные производные можно заменить на ковариантные производные. (Заметьте, что дифференцирование Ли определяется независимо от существования аффинной связности. Дополнительную информацию по этому вопросу см., например, в [27, 143].)
21.9. Выражение для динамических компонент тензора кривизны
Уравнения Гаусса — Кодацци можно рассматривать как уравнения, дающие 14 из 20 алгебраически независимых компонент тензора кривизны пространства-времени, выраженных через внутреннюю и внешнюю геометрии трехмерных (ненулевых) гиперповерхностей. Чтобы завершить расщепление лагранжиана Гильберта V—на пространство и время, необходимо еще выразить аналогичным способом оставшиеся 6 компонент тензора кривизны. С этой целью удобно представить все тензоры в виде пространственно-временных тензоров и в качестве обобщенного понятия дифференцирования по времени использовать производную Ли по направлению времениподобного единичного поля, нормального к пространственноподобным гиперповерхностям. Необходимо доказать ряд предварительных результатов
