Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Бааисные формы базисные векторы базисные 1-формы
для расчета
4-крививны вп^П = N~l(dt-Nmdm), (O11 = N di=(n-n) n, f9.lu
Bi = Si, (Oi = Axi = NiM.
Вместо греческих индексов а = 0, 1, 2, 3, для перечисления компонент используем греческие индексы а = ті, 1, 2, 3.
Напомним, что кривизна определяется изменением вектора, перенесенного по замкнутому пути, или из уравнения (14.23) имеем
.Я(и, V) w = VuV,w-V,V„w-V[u> T]W. (21.72)
Пусть Bi — переносимый вектор, а путь определяется векторами By и Bft. Последние два вектора принадлежат к координатному
§ 21.S. Внутренняя и внешняя кривизна 157
базису. Следовательно, путь замыкается автоматически» [в^, ej=0 и последний член в (21.72) выпадает из рассмотрения. Апеллируя к (21.62) и (21.60), находим
(4)
^Rmijh = ^Rmijk + (п • п)-1 {KUKZ - KlkKT)
2
V./'V.,., -=<*>V., О* +"«.„] =
=*'*¦ > OiWisirs''•”+
+ ‘*TS ^ + aTi-..]. (21.73)
Вычисляя аналогично член с обращенными индексами j и А, вычитая его из (21.73) и упрощая выражение, получаем
Зі (0j, 8?) в і = (Kmj -^ijift)' (п.„) “Ь + [(п-пГ1 (KtjKZ- KihKT) + '3'Rmijk] Bm. (21.74)
Коэффициенты этого равенства непосредственно дают искомые компоненты тензора кривизны
Гаусс — Кодацци: 4-І
внутренней S-геометрии и внешней
кривизны
(21.75)
^Bnijh = (п-п)~1 ^RntJk =-(п-пУ1 (KiHk-Kihu) (21.76)
Уравнения (21.75) и (21.76) известны как уравнения Гаусса и Кодацци (см. литературу в [11]). Из (21.75) следует, что компоненты кривизны 3-геометрии будут совпадать с соответствующими компонентами кривизны 4-геометрии только тогда, когда выполнено погружение в рассматриваемой точке на гиперповерхности, не обладающей внешней кривизной. Прямо противоположную ситуацию иллюстрирует пример 2-сферы, погруженной в плоское 3-пространство; в этом случае левая сторона (21.75) (со сдвигом на одно измерение!) равна нулю, и внешняя и внутренняя кривизны в правой части точно компенсируют друг друга.
Результаты Гаусса — Кодацци позволяют вычислить важные компоненты тензора кривизны Эйнштейна. При выполнении вычислений проще всего считать в;, Bj и eh ортогональной тетрадой, ап — нормированным и ортогональным каждому вектору на гиперповерхности. Используя тогда (14.7) и (21.75), находим
-CS = ‘4>Д1?2 + ^RiI3 + ^R313i = <3’Д“ + (3)Ла„ + ^R31ii +
+ (п • п)-1 [(К\К\ - К\К\) + (К\К\ - K33KD +
+ (К\К\ - ВД)] - j- R - j (п ¦ пГ1 [(Sp К)2 - Sp (К2)] .(21.77)
Здесь R — скалярный инвариант 3-мерной кривизны и Sp означает «след от», так,
Sp К - BiiKtj = gijKi} = Kij (21.78)
Выражение
тенвора
Эйнштейна черев внешнюю
2
158 21. Вариационный принцип и начальные данные
Выражение (24.77) — основное уравнение Эйштейва, «касса-анергия определяет крнивнвну»
Другое уравнение для начальных значений
И
Sp K2 = (K*)i = KfKim = g J3KtmgmiKij. (21.79)
Результат (21.79), полученный в ортонормальной тетраде, очевидно, ковариантен по отношению к общим преобразованиям координат на пространственноподобной гиперповерхности; он не содержит явно какой-либо координаты времени, обеспечивая в этом отношении не зависящее от координат описание эйнштейновской кривизны.
Согласно уравнению поля Эйнштейна, выражение (21.77) равно 8лр, где р — плотность массы-энергии. Выражение (21.77) есть «мера кривизны, которая не зависит от того, насколько искривлено пространственноподобное сечение». Эта мера кривизны — основное понятие при выводе уравнения поля Эйнштейна; оно обсуждается в дополнении 17.2, п. 3.
Другая компонента тензора кривизны Эйнштейна, которая легко вычисляется из (14.7) на основании полученных результатов, если ее выразить в ортонормальной системе координат, имеет вид
Gj = t4VRn21 г -P^fln313 =
= - (п ¦ п г1 (Ki |2 - ^l11 + K3u3 - я!ц). (21.80)
Она немедленно принимает форму, справедливую в любой ортонормальной или неортонормальной системе координат Bi, Вг> Bs на гиперповерхности:
Gni = — (п-п)"1 [#”,„ —(SpK)li]. (21.81)
Согласно уравнению поля Эйнштейна, эта величина равна умноженной на 8п г-й ковариантной компоненте плотности импульса, переносимого веществом и негравитационными полями.
Выписанные 4 компоненты уравнения поля Эйнштейна будут в последующем занимать центральное место, выступая в качеств© «уравнений для начальных значений» общей теории относительности. Остальные 6 компонент не будут выписаны, поскольку 1) динамику проще анализировать гамильтоновыми методами и 2) их вычисление довольно трудоемкое. Требуется, например, вычислить оставшуюся величину типа M (в], п)в{. Один шаг к этому расчету будет найден в упражнении 21.7. Расчет был выполнен Саксом ([25], уравнение 10), но только в гауссовых нормальных координатах. Эти координаты предполагают весьма специальное сечение пространства-времени:
1) геодезические, нормально исходящие из пространственноподобной гиперповерхности п = 0, пересекают все последующи© поверхности одновременности п = const нормально,
2) координата п непосредственно измеряет промежуток собственного времени или любую соответствующую х) ему собствен-
