Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Вставим в 1-формы, стоящие в левой и правой частях (21.59), вместо общего касательного вектора [который должен описывать общее локальное смещение, до сих пор оставшееся открытым, см. обсуждение после (2.12а)] очень специальный касательный вектор — базисный вектор Bj для смещения в г-координатном’направ-лении. Тогда (21.59) принимает вид
(*>'V,n = - К (Bi) = - KiiBit (21.60)
где К\ — компоненты линейного оператора К в координатном представлении. Умножим скалярно обе стороны (21.60) на базисный вектор Bm. и вспомним, что (вт-п) = 0. Таким образом установим, что тензор Kim в ковариантном представлении симметричен по двум своим индексам
Kim = Kigjm = Ki (Bj»Bm) = —вт"‘4)ТіП =
= n- (п.во)'4» Tami = n.<4>Vmei = Kml. (21.61) t
см. (21.55)
Зная тензор внешней кривизны Ki], можно найти изменения четырех векторов n, Bi, Ba, B3 при параллельном переносе. Уравнение
(21.60) показывает, как изменяется п при параллельном переносе. Изменение Bm находится из (21.55) и представляет собой вектор. Для адекватного отождествления этого вектора необходимо знать его скалярное произведение с каждым из четырех независимых векторов, т. е. с базисными векторами B1, B2 и в9, или, более кратко, с Bs из (21.58) и с вектором нормали п из (21.61). Таким образом, следуя Израилю [140], мы приходим к известным уравнениям Гаусса — Вайнгартена, счастливо обходя все изменения обозначений, происшедшие в текущем столетии:
^iBj = Kij+ ^ibh. (21.62)
Зная из этого уравнения, как изменяется каждый базисный вектор на гиперповерхности 2, мы также знаем, как переписать (21.54), чтобы найти изменение любого векторного поля А, лежащего на 2. В обоих случаях изменения выражаются относительно опорного вектора, переносимого из соседней опорной точки. Под выражением «параллельный перенос» теперь понимается «параллельный по
§ 21.5. Внутренняя и внешняя кривизна 155
2
отношению к геометрии окружающего пространства-времени»:
<«V,A + KijAi (21.63)
Особую важность представляет вычисление внешней кривизны,
«ели в соответствии с планом Арновитта, ДеэераиМизнера, описанным в § 21.4, пространство-время разрезано на пространствен-ноподобные сечения. Проиллюстрированная на фиг. 21.2 4-геоме-трия тонкого сандвича, несмотря на свою рудиментарность, полностью определяется 3-метрикой на двух поверхностях сандвича и функциями хода и сдвига N и Nt. Нормаль в ковариантном представлении, согласно (21.47), имеет компоненты
(п0, n2, ns) = (-N, 0, 0, 0). (21.64)
Изменение п по отношению к «вектору п, переносимому параллельно самому себе в окружающей 4-геометрии», в соответствии с определением параллельного переноса выражается формулой
(Iln)i = щ- k dx* = — (4,Г?Йп<,] dx* =
= iV<4>r?*d*\ (21.65)
Выражая это изменение через тензор внешней кривизны
(dn),= -Kihia* (21.66)
а сравнивая с (21.65), заключаем, что тензор Kik имеет величину Kik = -14; ft = - ЛГ“>ГЬ = - N Vi^roih+< VP(4)rPift),
или (используются уравнения (21.42) и (21.44)]
^ = (1/^)[‘4>Г0ІЙ-^<3>ГРІЙ] =
1 Г SNi , dNjt dgih ог1 1
------Зі---21WvJ
= Ш [iviIft + nW — ¦%*¦] •
Это внешняя кривизна, выраженная через функции хода и сдвига АДМ [139].
Пусть, например, 2 имеет геометрию 3-сферы внешняя
криввана
ds8 = A2Idx2 + Sin2x (<*Є* + Sin2Gd^2)]. (21.68) П*рГ>щейСЯ
Пусть соседнее сечение из однопараметрического семейства сечений есть сечение, обозначенное t + dt (только обозначение!), имеет 3-геометрию, заданную той же самой формулой, но с заменой радиуса а на a + da. 4-геометрия тонкого сандвича между двумя этими сечениями совершенно не определена до тех пор, пока не заданы функции хода и сдвига. Пусть для простоты вектор сдвига Ni (см. фиг. 21.2) везде равен нулю, а функция хода в каждой
(21.67)
Внешняя кривизна как функция CWara в
S-метрики
2
156 21. Вариационный принцип и начальные данные
точке на гиперповерхности S имеет одну и ту же величину N. Интервал собственного времени между двумя сферами равен тогда dt = Ndt. Любая расположенная на поверхности S геометрическая фигура расширяется со временем. Относительное увеличение размера этой фигуры на единицу собственного времени одинаково во всех направлениях и имеет величину
/ относительное увеличениеч I da 11 d (а2)
I размера на единицу соб- J = — — = — . (21.69)
хственного времени /
Взяв эту величину со знаком минус и умножив ее на единичный тензор т. е. 1 = d#, получим тензор внепшей кривизны
в ) -представлении
I I d (fl2) 2N a? dt
1. (21.70)
Этот результат подтверждается (упражнение 21.5) прямым вычислением компонент к\, если использовать в качестве отправной точки формулу АДМ (21.67).
Риманова кривизна R%«j = {3)R%cd, внутренняя по отношению к гиперповерхности 2, вместе с внешней кривизной Ki] дает информацию о римановой и эйнштейновской кривизнах 4-геометрии. Использование в расчете координатного базиса
базисные векторы базисные 1-формы
во = ,
в| = dit Ах\
неудобно, поскольку обычно базисный вектор B0 не перпендикулярен гиперповерхности (см. фиг. 21.2). Выберем другой базис, также дуальный самому себе:
