Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
* дхг
Специальным примером этой формулы является уравнение для ко-вариантно измеренного изменения самого базисного вектора вт:
^ViBm = '4TfclilI. (21.55)
В равенствах (21.54) и (21.55) совершенно очевидно присутствует «компонента, выходящая из гиперповерхности»:
(^4TJi) (в0. п). (21.56)
Теперь уничтожим эту компоненту. Спроектируем '41VA ортогонально на гиперповерхность. Таким образом придем к параллельному переносу и ковариантной производной, внутренним по отношению к 3-геометрии гиперповерхности. По правилам эту ко-вариантную производную следует записывать как (3>V, но для упрощения формы записи в оставшейся части данной главы она будет обозначаться как V, кроме тех мест, где может возникнуть неоднозначность. Чтобы получить величину новой ковариантной производной, достаточно переписать (21.54), заменив везде индекс <4) на <3), или лучше, опустив и то и другое, заменить «немой индекс» суммирования fi = (0, 1, 2, 3) на т. = (1, 2, 3). Однако более удобно, следуя Израилю [140], перейти от выражения, содержащего контравариантные компоненты Ai вектора А, к выражению, содержащему ковариантные компоненты Ai = (A-Bj)- В таком случае ковариантная производная от h-й ковариантной компоненты А по направлению г'-го координатного направления на гиперповерхности, вычисленная по отношению к 3-геометрии, внутренней к самой гиперповерхности, определяется выражением [см. уравнение (10.18)]
Ah і і = Bh ¦ '3lVejA ss eA -V1A = -
1 Oxi
-AmTmhi Ah., і для А вд 2). (21.57)
Вертикальная черта введена здесь для того, чтобы отличить эту ковариантную производную от ковариантной производной, взятой по отношению к 4-геометрии, как, например, в уравнении (10.17). Трехмерные коэффициенты связности здесь, подобно рассмотренным ранее четырехмерным коэффициентам связности [см. уравнения, ведущие от (14.14) к (14.15)], выражаются через метрически© коэффициенты и их первые производные и представляются в виде
'3Traftt = Tmhi = BmViBh. (21.58)
Из коэффициентов связности в свою очередь, как и в гл. 14, вычисляется тензор полной римановой кривизны l3)R jmn 3-геомет-рии, внутренней по отношению к гиперповерхности.
§ 21.5. Внутренняя и внешняя кривизна 153
2
ФИГ. 21.3.
Внешняя кривизна измеряет относительное сжатие и деформацию фигуры, лежащей на пространственноподобной гиперповерхности 2, которая возникает, если каждая точка фигуры перемещается в окружающее пространство-время на единичный интервал собственного времени, «нормальный» к гиперповерхности. (Л что если нет окружающего пространства-времени? Тогда нет и внешней кривизны I) Тензор внешней кривизны положительно кратен единичному тензору, если элементарные смещения на поверхности Ь&, куда бы они ни были направлены, все испытывают одно и то же относительное сжатие. Так, внешняя кривизна гиперповерхности, иллюстрируемой здесь, положительна. Пунктирная стрелка обозначает нормальный вектор п в опорной точке & после параллельного переноса в соседнюю точку & -Ь Ь.Ф.
Вдобавок к кривизне, внутренней по отношению к гиперповерхности одновременности, мы сталкиваемся с понятием внешней кривизны 3-геометрии, которое еще не встречалось в предыдущих главах (лишь вскользь мы касались его в дополнении 14.1). Это понятие не имеет смысла в самой 3-геометрии. Оно имеет смысл, если 3-геометрия погружена в виде полностью определенного сечения в полностью определенную окружающую ее 4-геометрию. Внешняя кривизна измеряет кривизну этого сечения относительно окружающей 4-геометрии (фиг. 21.3).
Возьмем нормаль в точке Si и, «удерживая ее основание на гиперповерхности» 2, перенесем ее параллельно самой себе в качестве «опорного вектора» в точку Si -f- 63і, где вычтем ее из нормального вектора, расположенного в этой точке. Разность бп можно в подходящем приближении рассматривать как «вектор», значение которого определяется и линейно зависит от «вектора» смещения 6аР.
Чтобы не привлекать понятия приближения, перейдем от конечного смещения Safi к предельному понятию вектора, определяющего «смещение 1-формы» daP (см. уравнение 15.13). Заменим также конечный, но не строго определенный вектор Sn предельным понятием вектора 1-формы dn. Эта величина должна представлять такое изменение вектора п, при котором не изменяется его длина, а изменяется направление, и поэтому вектор dn перпендикулярен п. Следовательно, можно считать, что вектор лежит на гиперповерхности 2. Так как он линейно зависит от то его можно представить в форме
dn-—К(ДО). (21.59)
Здесь линейный оператор К есть внешняя кривизна, представленная как абстрактный геометрический объект, не зависящий от
Внешняя крнвнв-на как оператор
2
154 21. Вариационный принцип и начальные данные
Уравнение Гаусса — Вайигартена для 4-перснооа в функции внсш* ней кривизны
выбора координат. Знак К в определенной здесь форме будет положительным, если вершины нормалей на фиг. 21.3 будут ближе, чем их основания; так будет, например, в модели Вселенной, переходящей от расширения к сжатию; это находится в согласии с условиями, используемыми Эйзенхартом [11], Шутеном [27] и Арновиттом, Дезером и Мизнером [139], но противоречит условию, принятому Израилем [140].
