Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(—{k)g)l,%ch?dxld3?da? = Ngl/2dtdx1dx2dx2.
(21.45)
2
Метрика 4-геометрии ваввсит от промежутка собственного времени между гиперповерхностями H сдвига соединителей, свяаываю-щнх две 3-гео-метрнн
Детали
4-геометрнв
2
150 21. Вариационный принцип и начальные данные
Компоненты
единичной
нормали
Приваривание соединителей к двумя стальным полоскам или добавление к 3-метрике функций хода и сдвига наряду с фиксированием 4-метрики также автоматически определяет компоненты единичного времениподобного нормального вектора п. Условие нормировки 4-вектора п легче всего сформулировать, сказав, что существует 1-форма, для удобства также называемая п, дуальная к п и такая, что произведение вектора п на эту 1-форму
<п, п, > = — 1. (21.46)
Эта форма определяется выражением
n = npdxP = -Nit +0 + 0 + 0. (21.47)
Только тогда эта 1-форма, т. е. структура слоеных поверхностей, автоматически принимает значение 1, когда ее пронзает (фиг. 2.4) вектор, отвечающий продвижению на единицу собственного времени, независимо от тех смещений по х, у и z, которые он имеет. Поэтому единичный времениподобный нормальный вектор в кова-риантном 1-формном представлении с необходимостью имеет компоненты —N, 0, 0, 0, т. е.
„з = (-N, 0, 0, 0). (21.48)
Поднимая индексы с помощью (21.44), получаем контравариантные компоненты той же нормали, представляющие собой тангенциальный вектор; таким образом,
па = [(I/N),-(NmZN)]. (21.49)
После рассмотрения фиг. 21.2 этот результат получает простую интерпретацию. Например, можно сказать, что типичный «перпендикулярный соединитель» на диаграмме должен иметь компоненты
(dt, -Nmdt)
и собственную длину dx = Ndt, а потому его компоненты, отнесенные к вектору п, обладающему единичной собственной длиной, точно совпадают с компонентами вектора (21.49).
§ 21.5. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ КРИВИЗНА
Основным понятием в эйнштейновском объяснении тяготения является кривизна, поэтому целесообразно проанализировать кривизну на языке (3 + 1)-пространственно-временного расщепления. Кривизну внутреннюю по отношению к 3-геометрии пространственноподобной гиперповерхности можно определить и вычислить методами, описанными и использованными в гл. 14 для расчета четырехмерной кривизны. Среди всех мер внутренней кривизны одна из простейших—скалярный инвариант римановой кривизны <3,Д (записываемый далее для простоты как R), а среди всех способов определения этого инварианта (см. гл. 14) один из наибо-
§ 21.5. Внутренняя и внешняя кривизна 151
2
ее компактных — использование предела (см. упражнение 21.4)
(собственная площадь поверх- \
ности (приблизительно 2-сфе- 1
ры), определенной как гео- I
метрическое место точек, I
расположенных на собственном J расстоянии е /
4лв2
/в иссле R I дуемой \ точке
-eI
“J
і Lim 18
е-»-0
4яе4
(21.50)
Для более подробного описания кривизны, внутренней по отношению к 3-геометрии, воспользуемся дифференциальной геометрией, уже развитой в гл. 8—14, поправляя ее только там, где требуется отличить трехмерную величину от четырехмерной. Начнем с рассмотрения смещения на гиперповерхности
dx\
(21.51)
Здесь BjT— базисные касательные векторы, причем в( = Bldxi {по одной терминологии), или Bi = 33іIdx (по другой терминологии); эти векторы являются дуальными к трехкоординатным 1-формам dx*. Любое поле касательных векторов А, лежащих на гиперповерхности, можно выразить через эти базисные векторы в виде
A=* Bi^i- (21-52)
Скалярное произведение вектора А на базисный вектор ву равно
(A-By) = Ai (Bfbj) = ^gij = Aj. (21.53)
Обратимся теперь от вектора в одной точке к параллельному переносу вектора в соседнюю точку.
Если вектор, лежащий на экваторе Земли и указывающий на Северную звезду, перенести параллельно самому себе вдоль меридиана в точку земной поверхности, находящуюся на 1000 км к северу, то он не будет больше лежать в 2-геометрии поверхности Земли. Телескоп, расположенный в северной полусфере, должен поднять свою трубу, чтобы увидеть Северную звезду. Этот результат непосредственно обобщается на случайдрехмерной гиперповерхности, погруженной в 4-геометрию. Возьмем вектор А, лежащий на гиперповерхности, перенесем его по элементарному пути, также лежащему на гиперповерхности, причем в ходе переноса на каждой стадии будем смещать вектор параллельно самому себе, где «параллельно» означает параллельно по отношению к геометрии окружающего 4-многообразия. В конце такого переноса вектор А обычно не будет лежать на гиперповерхности. Поэтому «ковари-антная производная» от А в направлении і-координатного
Скалярная кривизна как мера дефицита
ПЛОЩАДИ
2
152 21- Вариационный принцип и начальные данные
От даратядьного переноса в 4-геометрии к параллельному переносу в S-геометрии
Новая ковариантная производная, ваятая относительно S-геометрии
направления в геометрии окружающего пространства-времени (т. е. А в новой точке минус перенесенное А) имеет ВИД (CM. § 10.4)
<*> Ve. A = f4lViA = t4lVi(B^) = BiH-(t4^iBli) (21.54)
