Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 21.4. РАСЩЕПЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ НА ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ
Можно многими способами «толкать вперед» многострелочное время и исследовать пространство-время быстрее здесь и медленнее там, или быстрее там и медленнее здесь. Однако вычислительная машина наиболее эффективно программируется, только если она следует одному определенному предписанию. Последовательные гиперповерхности, на которых задается геометрия, наиболее удобно описываются последовательными значениями параметра времени t. 3-геометрии на этих гиперповерхностях и 4-геометрия между ними трактуются на различных основаниях.
Рассечение пространства-времени на однопараметрическое семейство пространственноподобных гиперповерхностей предусматривается не только при анализе динамики вдоль пути, но и при наложении граничных условий, которые вводятся в любой принцип действия в виде: «Задайте 3-геометрии на двух поверхностях пространственно-временного сандвича и подберите между ними 4-геометрию, которая бы зкстремизовала действие».
Проще всего рассматривать сандвич бесконечно малой толщины (фиг. 21.2). Выберем координаты, приспособленные к (3 + 1)-расщеплению пространства-времени, обозначим «нижнюю», более раннюю гиперповерхность на диаграмме как t = const и «верхнюю» более позднюю — как t + dt — const (это лишь названия, а не явная мера, какого бы ни было собственного времени). Сравним две гиперповерхности с двумя узкими полосками стали, из которых хотят сконструировать твердую структуру. Задание геометрии на двух полосках никоим образом не задает структуру; для этой цели необходимы поперечные соединители между полосками. Недостаточно указать, что эти соединители 1) должны быть приварены на перпендикуляре к нижней полоске, 2) где каждый из них
10*
Расщепление
пространства-
времени
для расчета
пространства-
времени
4-геометрия тонкого сандвича
148 21. Вариационный принцип и начальные данные
ФИГ. 21.2.
Встраивание двух 3-геометрий в 4-геометрию тонкого сандвича путем наложения перпендикулярных соединителей с заданными длинами и смещениями. То, что в другой ситуации могло быть гибким, стало вследствие этого жестким. Точка с флагом иллюстрирует уравнение (21.40).
должен быть приварен и 3) дать их длину. В дополнение к этому необходимо сказать, где каждый соединитель присоединяется к верхней поверхности. Если соответствующие расстояния между вершинами соединителей везде короче, чем расстояния между основаниями соединителей, то двойная полоска будет иметь изгиб троса подвесного моста; если они везде длиннее, то двойная полоска будет иметь изгиб арки каменного моста. Таким образом, для построения сандвича необходимы следующие данные:
1) метрика 3-геометрии на нижней гиперповерхности
gtj (t, х, у, z) dx'dx?, (21.36)
дающая квадрат расстояния между двумя точками на этой гиперповерхности;
2) метрика на верхней гиперповерхности
gt] (t + dt, х, у, z) dxldx3; (21.37)
3) формула для собственной длины соединителя, который крепится в точке (х, у, z) на нижней гиперповерхности
(промежуток собственного\
времени между нижней I / «функция\ AM/, г „ zw,. и верхней гиперповерхно- I \хода» / стями J
(21.38)
4) формула для места приварки соединителя на верхней гиперповерхности
Хверхн (Xm) = Xі— Ni (t, X, у, z) dt. (21.39)
§ 21.4. Расщепление пространства-времени 149
Опустим часть этой информации и найдем структуру, лишенную жесткостн.
Жесткость структуры тонкого сандвича немедленно обнаруживается в определенности 4-геометрии пространства-времени, заполняющего сандвич. Ищем интервал ds или собственное время dx между = (t, Xі) и + dbfi- = (t + dt, Xі + dx*). Теорема Пифагора в 4-мерной форме
, „ ,, /промежуток собственногоЧ2
/собственное расстояние\2 /времени между нижней и
Vb нижнеи 3-геометрии ) \верхней з-геометриями )
приводит к результату (см. фиг. 21.2)
ds® = gtj (dx* + N'dt) (dx? -)- N’dt) -(Ndt)2. (21.40)
Здесь, каки в (21.36), gtj — метрические коэффициенты 3-геометрии; они имеют латинские индексы, а компоненты 4-метрики — греческие, и кроме того, чтобы уменьшить возможную путаницу, верхний индекс (4)
ds® = ^'gafidxzdxt. (21.41)
Сравнивая (21.41) и (21.40), приходим к следующему построению
4-метрнки из 3-метрики и функций хода и сдвига [139):
(4)
<4>
Soo Soh
giO a)gih
(NeNt-N2) Nk Nt go,
(21.42)
Приваренные соединители делают свое дело!
В (21.42) величины Nm — компоненты сдвига в своей первоначальной контравариантной форме, в то время как Nt = = gtmN™ — ковариантные компоненты, вычисленные с помощью
S-метрики в рамках 3-геометрии. Чтобы обратить это соотношение, т. е. написать
Nm = gmtNt, (21.43)
необходимо рассмотреть обратную 3-метрику, величину, которая должна резко отличаться от обратной 4-метрики. Так, обратная ^метрика равна
(4>?оо <Vm
(4>g*0 (4)g*n«
— (l/N2) (NmINz)
(NkIN2) (gkm-NkNm/N2)
(21.44)
что проверяется путем вычисления произведения
<4>ga0 <4)gpv = <4)6av
согласно стандартным правилам перемножения матриц. Элемент объема имеет вид
