Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Т*Ъ= -2 ^ZjT + ^поля, (21.33а)
или
( — g) 1ZiyttP = = 2 -^доля . (21.336)
Каковы следствия этого отождествления?
Под используемым здесь выражением «лагранжева функция поля» понимается лагранжева функция классической теории, сформулированной в плоском пространстве-времени с заменой метрики плоского пространства-времени на истинную метрику и применением ко всем производным правила гл. 16 «запятая переходит в точку с запятой».
Если рассматривается общее тензорное поле, то правило «запятая переходит в точку с запятой» вместе с производной тензорного поля со всеми его индексами будет вводить столько функций Г, сколько имеется индексов. Присутствие функций Г в лагранжиане поля привело бы к плохим последствиям для описанной в § 21.2 вариационной процедуры Палатини. В результате не получалась бы общепринятая формула (21.27), выражающая Г через метрические коэффициенты. А геометрия, вытекающая из вариационного принципа Гильберта — Палатини, не была бы римановой. И что тогда делать?
Эти мучительные вопросы не возникают в двух хорошо известных простых случаях скалярного и электромагнитного полей. В случае скалярного поля лагранжиан имеет вид
Ьполя = (1/8я) [-g“p (дф/дха) (дф/дх*)-т*ф*\. (21.34)
Поскольку дифференцируется скаляр, то коэффициенты связности не входят в лагранжиан. В случае электромагнитного поля лагранжиан строится из первых производных 4-потенциала A Поэтому, согласно стандартным правилам ковариантного дифференцирования (дополнение 8.4), должны появиться функции Г. Однако производные от А появляются не поодиночке, а всегда в антисимметричной комбинации, так что функции Г сокращаются и ковари-антные производные становятся эквивалентными обычным производным
Fjiv — Av.^ -^nSv = (21.35)
Лагранжиан порождает тенаор Энергии-импульса
Электромагнетизм в качестве примере
10-01508
2
146 21. Вариационный принцип и начальные данные
Сопоставление с тензором анергии-импульса «канонической теории поля»
УПРАЖНЕНИЯ
В обоих случаях дифференцирования (21.33), порождающие тензор энергии-импульса, легко выполняются (упражнения 21.2 и 21.3) и дают классические выражения для Tliv, с которыми мы уже встречались ранее [(5.22) и (5.23)].
Совсем иной метод дает теория поля для нахождения так называемого канонического выражения для тензора энергии-импульса (см., например, [134]). При каждом способе построения тензора энергии-импульса получающееся выражение должно удовлетворять закону сохранения энергии и импульса, и в силу этого обстоятельства в определенных контекстах оно становится полезным. Однако канонический тензор часто не симметричен по своим двум индексам, и закон сохранения момента импульса в этих случаях нарушается (см. обсуждение в § 5.7). Даже будучи симметричным, он может дать совершенно отличную от описываемой (21.33) локализацию напряжений и энергии. Теория поля не способна сделать выбор между этими различными картинами локализации энергии доля. Однако поскольку гравитация реагирует непосредственно на плотность массы-энергии и импульс, прямые измерения гравитационного притяжения обеспечивают в принципе [135] *) способ, с помощью которого можно сделать выбор между альтернативными рецептами локализации напряжений и энергии. То, что теория тяготения в вариационной формулировке дает единственное предписание для определения тензора энергии-импульса, который, будучи симметричным, автоматически удовлетворяет также законам сохранения энергии и импульса (упражнения 21.2 и 21.3), можно считать счастливым обстоятельством. (Обсуждение симметризации тензора энергии-импульса см. в работах [136, 137]. Более обширное обсуждение и ссылки на литературу см. в [7, 138].)
Если рассматривается спинорное поле, то в качестве варьируемых величин удобно выбирать не сами метрические коэффициенты, а компоненты тетрады ортонормальных векторов, определенных как тетрадное поле во всем пространстве (обсуждение и ссылки см. в [7]).
21.2. Тензор анергии-импульса для скалярного поля
Выведите тензор энергии-импульса для скалярного поля, задавшись функцией Лагранжа (21.34). Выпишите также уравнение скалярного поля, выведенное из этой функции Лагранжа (в общем случае, когда динамика поля развивается в искривленном пространстве-времени). Покажите, что как следствие этого уравнения поля тензор энергии-импульса удовлетворяет закону сохранения Tafi* = 0.
*) Неопубликованная работа цитируется в книге [347].
§ 21.4. Расщепление пространства-времени 147
21.3. Тензор энергии-импульса Фарадея — Максвелла упражнения
Задавшись лагранжевой плотностью — FvtyFwI 16л, выразите ее через переменные Aii и ITllv, и, используя (21.33), выведите тензор энергии-имлульса, следуя § 5.6. Выведите также из вариационного принципа Лагранжа уравнение поля Fa^ = 0 (пространство-время искривлено, но заряды для простоты отсутствуют). Покажите как следствие этого уравнения поля, что тензор энергии-импульса Фарадея — Максвелла удовлетворяет закону сохранения Taр:Р = 0.В качестве более претенциозного упражнения покажите, что любой тензор энергии-импульса, полученный из лагранжиана поля, согласно уравнению (21.33), будет автоматически удовлетворять закону сохранения.
