Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
б (действие) «¦= SS = j -gUj- бAtd3X =
miS ~ 5 (ж), іМ*.».*)*3*- (16)
Чтобы действие не зависело от калибровки, выражение (16) должно равняться нулю для произвольного К (х, у, z). Это возможно, если только 5 (2, В) = S (гиперповерхность, поле на гиперповерхности) удовлетворяет тождеству
----(1W.*-=0- <17>
4. Электродинамический «закон распространения»
Гамильтона — Якоби
«Дисперсионное соотношение» или «уравнение Гамильтона — Якоби» для электромагнетизма связывает 1) изменения «динамической фазы» или «действия», вызванные изменениями динамических переменных Ai (обобщающих координаты х динамики частицы), с 2) изменениями, вызванными изменениями многострелочного времени (обобщающего единственное время t динамики частицы). Поэтому (15) принимает вид
-I=jSi (?Г+ш<™ <18>
В. Дисперсионные соотношения для геометродинамики и электродинамики: сравнение и противопоставление
Уравнение (17), утверждающее, что «действие зависит только от той информации в векторном потенциале А, которая определяет магнитное поле B=VХ-4», имеет в геометродинамике непосредственный аналог — уравнение, гласящее, что действие зависит только от информации в метрике g1} на «верхней поверхности сандвича», которая характеризует 3-геометрию i3)S на этой поверхности. В геометродинамике имеется также непосредственный аналог уравнения (18) («динамическое уравнение распространения действия») с одним различием: в электродинамике переменная поля В и «многострелочное время» по характеру различны, тогда как в геометродинамике «поле» и «многострелочное время» можно считать двумя аспектами одной и той же 3-геометрии (3)§.
144 21. Вариационный принцип и начальные данные
Г. Принцип действия и дисперсионное соотношение уходят корнями в квантовый принцип: фейнмановский принцип демократического равенства всех историй
Дополнительно о принципах действия в физике см., например, [115—117].
Ньютон [118] на первой странице предисловия к первому изданию своей книги «Начала» замечает, что «описание прямых линий..., на которых основана геометрия, принадлежит механике. Геометрия не учит нас проводить эти линии, а требует, чтобы они были проведены».
Ньютоновское замечание тоже вопрос. Механика движет частицу по прямой линии, но что является машиной, с помощью которой механика выполняет это чудо? Ответ дает квантовый принцип. Частица движется по прямой линии, только не двигаясь по прямой линии. Она «наскакивает» на каждую мыслимую мировую линию, ведущую от старта x',t' к точке детектирования Xя, t", «сравнивает» их одну с другой и выбирает экстремальную мировую линию. Как она выполняет это чудо?
Движение частицы описывается «амплитудой вероятности перехода от (х1, t’) к (х", г")»- Эта амплитуда, или «пропагатор» (х", t" \ х’, V), представляет собой демократическую сумму равновесных вкладов от каждой мировой линии, ведущей от старта к финишу, поэтому
Cas', t" I t') = N j SS х. (19)
Здесь N — нормировочный множитель, одинаковый для всех историй,SBx — «элемент объема» для суммы по историям. Для «скелетной истории», определяемой заданием хп в момент tn = t0 + nAt, элемент объема SBx равен с точностью до постоянного множителя (Ix1Cix2 . . . dxN. Если история определяется коэффициентом Фурье в таком выражении, как
П
то элемент объема вновь с точностью до постоянного множителя равен dax, daa . . . .
В действительности вклад в вероятность перехода от историй, значительно отличающихся от «экстремальной истории» или «классической истории», стирается гасящей интерференцией. С другой стороны, истории, расположенные вблизи экстремальной истории, складываются с усилением по следующей простой причине: малое отклонение первого порядка от классической истории вызывает изменение фазы, которое будет второго порядка по отклонению.
Этот элементарный пример иллюстрирует ту значительную роль, которую играют экстремальные принципы в классической динамике. Они напоминают, что вся классическая физика основана на квантовой физике. Перечислим основные идеи: 1) принцип суперпозиции амплитуд вероятности, 2) усиливающая и гасящая интерференция, 3) «демократическое равенство всех историй» и 4) амплитуда вероятности, связанная с историей Н, равна еІІН,т> с точностью до постоянного нормировочного множителя.
Дополнительно о демократическом равенстве историй и сумме по история^ 'Cm. работы [48, 119—122], книгу Фейнмана и Хибса [123], работы [124—128], обзор и ссылки на литературу см. в [129], а также [130] и [131]. Эта точка зрения обсуждалась многими исследователями в применении к формулировке квантовой геометродинамики, причем первая работа принадлежит Мизнеру [132] и одна ив последних—Фадееву [133].
§ 21.3. Лагранжиан материи и тензор анергии-импульса 145
2
§ 21.3. ЛАГРАНЖИАН МАТЕРИИ И ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
При выводе геометродинамического закона Эйнштейна ив принципа наименьшего действия Гильберта источник, стоящий в правой стороне, получается из лагранжиана поля. В противоположность этому при выводе закона Эйнштейна в гл. 17 источник отождествлялся с тензором энергии-импульса поля. Чтобы два вывода были совместны, тензор энергии-импульса должен определяться выражением
