Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
/максвелл= J ^Максвелл^Я ----^gjl ^ F^ Fv^ ( — gY^d^X. (9)
1. Вариация поля на гиперповерхности и вариация положения гиперповерхности — совершенно различные понятия в электромагнетизме
Электромагнитное поле F в электромагнетизме является физической величиной (ср. 3-геометрию в геометродинамике). В противоположность этому 4-потенциал А не имеет непосредственного физического смысла. Изменение калибровки потенциалов
А» = Л*Нов + dkldxfl
не изменяет компонент ПОЛЯ
Fliv = дA Jdxtl — dAJdxv
(ср. преобразования координат, которые изменяют ^tiv, но оставляют неизменной
3-геометрию 13)&). Тем не менее вариацию полей внутри тела сандвича наиболее удобно выражать через результат изменения потенциалов бЛц.
Хочется понять, как на интеграл действия влияют изменения положения верхней пространственноподобной гиперповерхности («многострелочное время»). Представим себе, что точка гиперповерхности с координатами z, у, z, t (х, у, z) смещена в положение х, у, z,t-\-bt(x, у, z). Теперь откажемся от исполь-
§ 21.2. Принцип действия Гильберта и вариационный метод 141
зования привилегированной системы координат. Выразим смещение гиперповерхности одновременности через 4-вектор бп (неедииичный 4-вектор), нормальный к гиперповерхности 2. Элемент 6Q 4-объема, заключенного между первоначальной верхней поверхностью сандвича й новой верхней поверхностью, который в привилегированной системе координат имел вид (—g)i№ bt (х, у, г) d3x, в обозначениях гл. 20 принимает вид
6Й = Sra^d3S11 = (бп • d32), (10)
где элемент поверхности сРТ, ц уже включает в себя множитель (—g)if2.
Суммируя влияние изменений значений поля на верхней гиперповерхности в изменений в положении этой гиперповерхности, имеем
6 S = б/эютремальн — ~~ (1/16я) J (бп • d32)
выше S
+ (1/4л) j F^bAvPb,+
выше Z '~v_'
t
заменить эквивалентной величиной\
(64Й — бгавЛц;в) '
+ (1/4«) j F^ybA^-g^d^x. (И)
4-объем '
t
должен исчезать в силу экстремальности интеграла
Упростим это выражение, подобрав координаты таким образом, чтобы|гиперпо-верхность стала гиперповерхностью постоянного t и чтобы линии постоянных х, у, z были нормальны к этой поверхности. Тогда отсюда следует, что элемент объема на этой гиперповерхности содержит единственную неисчезающую компоненту d*20 = (—g)i/2d?x. В силу симметрии полевой величины Fav по двум своим индексам индекс V должен быть пространственноподобным (? = 1, 2, 3). Вариация действия принимает вид
SS = J [¦ 6Л,-{ .(ng^i0 Ai, о- Ямаксвел*} bt] d3x. (12)
у J
добавить и вычесть { Fi° A06t } {
2. Смысл «импульса» поля в электродинамике Отождествим выражение (12) с величиной
65= j JI^mSA1CPx-- j Ш 6Q, (13)
2
142 21. Вариационный принцип и начальные данные
(14)
где
6*^ _/«плотность электромагнитного импульса, \_
ям \ динамически канонически сопряженного A1S))
_ (—g)1/xFto_______
4л 4я
—простое кратное электрического поля и где
/«плотность \
SS = — = I электромагнитного I ~ (1/16л) [/'livFjIv + AF10 (Ait о—-4о; і)] =
\ гамильтониана» /
= (1/8л) (-E2 +В2). (15)
Понятие динамической плотности гамильтониана согласуется с обычным понятием плотности электромагнитной энергии, несмотря на очень несхожий контекст, в котором вводятся и используются эти величины. Однако канонический импульс пем не имеет прямого отношения к плотности электромагнитного импульса, определяемого, например, вектором Пойнтинга, несмотря не смущающую аналогию в стандартных названиях этих двух величин. Заметим, что в (13) отсутствует член 6Л„, т. е. л%м = 0.
3 Пузырьковое дифференцирование
«Пузырьковое дифференцирование» по «многострелочному времени», которое появилось в (15), было впервые введено Томонага [114]. Представим себе пространственноподобную гиперповерхность S1 с определенным на ней как функцией положения магнитным полемВ (наблюдатель находится на мировой линии, нормальной к этой гиперповерхности) и возьмем рецепт, согласно которому совершается
переход от этой информации к числу S—действию. (Разделив это действие на Й, получим фазу «волновой функции» или «амплитуду вероятности» найти определенное распределение значений поля на определенной гиперповерхности.) Перейдем ко второй гиперповерхности S2, которая везде, кроме непосредственной окрестности данной точки, тождественна S1. Возьмем распределение поля на S2, которое тождественно первоначальному распределению на S1, причем «тождество положения» определяется с помощью нормали. Вычислим разность 6S между величинами динамической фазы или действий в двух случаях. Разделим эту разность
на величину собственного 4-объема 6Q = j (6n -d3S), заключенного в «пузырьке»
между двумя гиперповерхностями. Возьмем частное, вычислим его в пределе, когда размер пузырька стремится к нулю, и придем к «пузырьково-временной производной» от действия, 6S/6Q.
§ 21.2. Принцип действия Гильберта и вариационный метод 143
2
Что означает утверждение, что действие 5, кроме зависимости от гиперповерхности S, зависит также от распределения магнитного поля В по гиперповерхности? Действие зависит от физической величины B=^ X Л, а не от физической величины Л. Поэтому изменение калибровки бA1 = OXIdxi не может изменить 5. С другой стороны, вычисленное значение S для этого изменения Л равно
