Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
б/г*о„ = (1/16я) j Gafi(Г е + 1р:а)(-g)1/2d'x =
- — (1/8я) j Gali1 ^(-*)1'*** (21.31)
t_
— «ковариантное интегрирование по частям»
должна равняться нулю, какова бы ни была 4-геометрия и каково
бы ни было изменение На этом пути свернутые тождества
Бианки (гл. 15)
Ga= о (21.32)
предстают под новым углом.
Действие ие завнеит’от простого Йемене* ш системы координат
2
138 21- Вариационный принцип и начальные данные
«Нейтральность» принципа наименьшего действия по отношению к простому координатному преобразованию типа (21.29) еще раз показывает, что вариационный принцип, а с ним и уравнение Эйнштейна не могут определять координаты или метрику, а определяют только саму 4-геометрию.
упражнение 21.1. Вариация детерминанта метрического тензора
Вспоминая, что величина изменения любого детерминанта равна сумме произведений изменения каждого элемента детерминанта на его алгебраическое дополнение (упражнение 5.5), докажите, что
S (¦-?)1/2 = у (- г)1 VvS^v И fi (- g)Vl = - Y (- ?)V Покажите также, что
g = det Il Il и 8 (—g)1/2 =+-i ^vSgllv.
Дополнение 21.1. СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ДЕЙСТВИЯ CO ВРЕМЕНЕМ,
СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ДЕЙСТВИЯ С ДИНАМИЧЕСКОЙ КООРДИНАТОЙ ( = «ИМПУЛЬСОМ» ) И ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
< = «ГАМИЛЬТОНИАН»), КОТОРОЕ СВЯЗЫВАЕТ ЭТИ СКОРОСТИ В МЕХАНИКЕ ЧАСТИЦЫ И В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
А. Пролог об аналоге метода Палатини в механике частицы
В механике частицы рассматривают историю х = х (J), которая протекает между конечными точками (х', t') и (г, t) и которую варьируют при отыскании экстремума интеграла
/ = J L (х, х, t) dt, взятого между этими пределами.
Интеграл I, выраженный через координаты и импульсы (см. фиг. 21.1), имеет вид
I= j [рх — Н(р, X, t)]dt, (1)
где X (t) — снова та функция, которую надо варьировать, ар — лишь сокращенное обозначение определенной функции х и х, т. е. р =
= дЬ (х, х, t)/dx. С этой точки зрения вариация импульса бр (t) является лишь отражением вариации 8х (J) и определяется ею.
S 21.2. Принцип действия Гильберта и вариационный метод 139
2
1. Рассмотрение импульса как независимой переменной
Существует, однако, совершенно другой удивительный способ рассмотрения проблемы. Можно рассматривать х (t) и р (t) как две несогласованные и независимые
• •
пробные функции. Откажемся от формулы р = dL (х, х, t)/dx, но только для того, чтобы восстановить ее или эквивалентную ей формулу из нового варианта вариационного принципа «с независимыми координатой и импульсом».
Вариация интеграла (1), определенная и вычисленная этим новым способом, равна
4,-^C:'+T ®
Х\ і*
Требуя исчезновения коэффициента при Ьр, получаем искомый новый вариант
• дН (р, х, <)
* др
• •
старого соотношения р = dL (х, х, t)ldx между импульсом и скоростью. Приравнивая нулю коэффициент при бх, находим другое уравнение Гамильтона
1 дН (р, х, t) /ОЧ
р-----------Tx--• W
эквивалентное по содержанию первоначальному уравнению движения Лагранжа:
d, dL dL л # #*
-Г.---;--т— = 0. (4)
dt д'х дх
Тот факт, что р (t) в этой концепции с двумя независимыми переменными является (до экстремизации!) функцией времени, полностью независимой от функции x(t), яснее всего проявляется в том, что на р (t) в конечных точках не налагается условий, в то время как х' и z ' заданы. Поэтому для достижения экстремума подгоняется не только форма истории в пространстве х, р, t, но даже конечные точки могут скользить вдоль двух указанных на фигуре линий подобно бусинкам на проволоке.
2. Действие как средство для нахождения дисперсионного соотношения
Обозначим через S (х, t) «действие» или экстремальное значение I для классической истории, которая начинается в (х', t') и кончается в (х, t) (=фава волны
де Бройля, умноженная на К). Переход от конечной точки (х, t) к точке
(х+ дх, t) приводит к изменению действия
б S = рЬх. (5)
Таким образом, импульс есть «скорость изменения действия с динамической координатой».
Переход от конечной точки (х, t) к точке (х -f- дх, t + dt)
(х + бх, t + dt) = ([я + хбЛ + [бх — хб<], t + бt) (6)
140 21. Вариационный принцип и начальные данные
ведет к изменению действия
SS=p [ба: — z6?] + Lbt = pbx — Hbt. (7)
Поэтому гамильтониан есть взятая с отрицательным знаком «скорость изменения действия со временем».
Выраженное через гамильтониан H = H (р, х) «дисперсионное соотношение»-для волн де Бройля имеет вид
При выводе этого дисперсионного соотношения можно выгодно сократить весь разговор о р (t) и X (t) как независимых переменных и вывести результат едва ли
не сразу после определения I= j L (z, х, t) dt. Аналогично обстоит дело и в электродинамике.
К оставшейся части этого дополнения лучше всего перейти после первого-внимательного чтения гл. 21.
Б. Аналог метода Палатини в электродинамике
В электродинамике без источников рассматриваются две заданные пространственноподобные гиперповерхности S' и S" с магнитными полями В' ж В" как функциями положения на каждой из них (для упрощения обозначений второе поле будет далее записываться без верхнего индекса *). Варьироваться должен интеграл, взятый по области пространства-времени, заключенной между двумя гиперповерхностями, т. е.
