Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(1/16Я) J ?вР(8Г?э;Х -6Г?х; ') (-if'cPx,
и проинтегрируем его по частям, чтобы исключить производные от 6Г. Для этого введем понятие тензорной плотности, широко применяемое в общей теории относительности. Понятие тензорной плотности вводится из соображений экономии. Без этого понятия следует рассматривать тензор
= (—ё)1'* f(iaPvI
(см. упражнение 3.13) как тензор с 4* = 256 компонентами, а его ковариантную производную как тензор с 4®=1024 компонентами, одна из которых равна
8оШ;р = д ( — g) І21дз?E0123 — Гор8оиз( — g) —Г?рЄовгз (— g) —
- Првоюз (-^)1/г-T3spZ0i2a (-gf* =
— К —р— Г?р (—g)v*l 10123].
Символ [а|}у6] со значениями (0, —1, +1) лишь утяжеляет бухгалтерский учет перестановки индексов. Отбросим это неудобство. Введем нетензорную величину (—g)l,i и определим^рдя нее вакон ковариантного дифференцирования
(—ff)1/8;p = (-g)ll*,p - Г%(-?)1/а« (21.24)
Эти 4 компоненты заменяют 1024 компоненты и передают всю существенную информацию, содержавшуюся в них.
С вектором J11 связывается векторная плотность
in = (—g)1/%! ц;
с тенэором Tixs- тензорная плотность
SltV - (-g)li%T^
и т. д.; немецкая готическая буква служит стандартным указателем на присутствие множителя (— g)1^. В некоторых случаях (см., например, § 21.11) удобно умножать компоненты тензора на степени (—#)1/а, отличные от I. В соответствии со значением степени получающуюся совокупность компонент называют в таком случае тензорной плотностью того или иного веса.
Закон дифференцирования обычной или стандартной тензорной плотности, образованной из тензора произвольного ранга
я::- = (-gf^Aw,
имеет вид
(Я"*);р = (Я"*).р + (стандартные Г;, члены стандартной ковариантной производной, умноженной на Я”’)—(1.'!*)1’ср*
Понятие
тензорной
плотности
2
136 Zl. Вариационный принцип и начальные данные
Ковариантная производная произведения есть сумма двух членов: ковариантной производной первого сомножителя, умноженной на второй сомножитель, плюс первый сомножитель, умноженный на ковариантную производную второго.
Вернемся теперь к расчету интеграла и скомбинируем множители и (—g)1/* в тензорную плотность д“Р. Проинтегрируем ко-вариантно по частям, что оправдано правилом ковариантного дифференцирования произведения. Получим «член на пределах» плюс интеграл
- (1/16я) j (8“р; х - Sg8 “¦? т) Srxap #х.
Этот интеграл — единственный член в интеграле действия, который содержит вариации Г во «внутренних точках», представляющих здесь интерес. Чтобы интеграл был экстремальным, симметри-зованные коэффициенты 8Г?р должны равняться нулю, т. е.
-CcP I SB By * sP -CCY _п
8 ; к—2 ® :v—2 ® v—
Этот набор из 40 уравнений для 40 компонент ковариантной производной д“Р;х имеет только нулевое решение
= 0. (21.25)
Таким образом, «плотность, образованная из обратного метрического тензора», является ковариантно постоянной.
Этот простой результат влечет за собой много простых результатов: ковариантное постоянство I) (—g)1/z,2) g“p,3) gap и 4) gap. Результат 3 представляет здесь интерес, и для его доказательства необходим, как это следует ниже, результат 1. Примем определение (21.24) для ковариантной производной от (—g)1/z и вычислим с помощью упражнения 21.1 обычную производную, которая появляется в первом члене. Для вычисления возникающих в расчете членов вида используем (21.25) и в результате получим
(—?)1/ад—0.
Отсюда следует, что ковариантная. производная от ^j-тензорной
плотности (—g)1/aS“ также равна нулю. Ho эта тензорная плотность есть произведение тензорной ПЛОТНОСТИ на обычный метрический тензор gpy. Мы уже знаем, что при ковариантном дифференцировании этого произведения по хК производная от первого множителя равна нулю. Следовательно, произведение первого множителя на производную от второго должно быть равно нулю
8“pSpv* = °>
откуда вытекает
g PVA = 0. (21-26)
что и следовало доказать; или, более подробно,
-^-*Л-яА = о.
S 21 Л, Принцип действия Гильберта и вариационный метод 137
2
Решая этн уравнения для Г, которые вплоть до настоящего момента были независимы от gPv, получаем стандартное уравнение для коэффициентов связности
Гцу = ^ Я**0 (&*®»v Н" ?®v, і» — ^nv, o)t (21.27)
как требуется в римановой геометрии.
Аналогично, приравнивая нулю коэффициент при бв вари-ции (21.23), находим все 10 компонент уравнения поля Эйнштейна в виде
СаЭ = 8я(^поля-2^?ля). (21.28)
тенвор, отождествленный в § 21.3 с тензором энергии-импульса Гар
Среди вариаций метрики простейшая
?BOB|iv = Snv бStiv = Sftv Ч- 5n;v ?v;i» (21.29)
вызывается бесконечно малым преобразованием координат
«нов = ** - I*. (21.30)
Хотя метрика изменяется, 3-геометрия остается неизменной. He имеет значения, является ли она пространственно-временной геометрией, которая рассматривается при экстремивации|принципа действия, или нет, является ли она решением уравнений Эйнштейна или нет; интеграл действия I есть скалярный инвариант — число, значение которого зависит от рассматриваемых физических процессов, а вовсе не от системы координат, которая испольвуется при этой. Эта инвариантность равным образом справедлива для каждой из частей интеграла действия в отдельности (Ireoit и /ПОлей)-Поэтому вариация (21.29) не будет влиять ни на одну из частей. Другими словами, величина
