Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Обращаясь от первых ко вторым производным, мы получаем 20 отдельных компонент тензора кривизны. Будучи выраженными в локально инерциональной системе, отсчеты этих 20 компонент являются произвольными в пределах шестипараметрического локального преобразования Лоренца. Таким образом, имеется 20—6 = 14 независимых локальных характеристик кривизны («инварианты кривизны»), которые не зависят от выбора координат, и каждая из них может быть использована в принципе действия.
§ 21.2. Принцип действия Гильберта и вариационный метод 133
2
Однако из этих 14 Величин только инвариант <4)iZ линеен по вторым производным от метрических коэффициентов. Любой выбор инварианта, отличного от инварианта Гильберта, усложняет геометродинамический закон и нарушает простое соответствие с ньютоновской теорией тяготения гл. 17.
Первоначально Гильберт принимал в вариационном принципе в качестве независимых пробных функций от х, у, z, 110 компонент метрического тензора в контравариантном представлении ^v. Позже Палатини [113] обнаружил, что проще и в то же время поучительней причислить к независимым пробным функциям не только 10 компонент gliV, но еще и 40 компонент r“v аффинной связности.
Отказаться от стандартной формулы для связности Г как функции метрики g и пустить Г «качаться на ветру»— не новое предприятие в математической физике. Даже в простейшей проблеме механики можно отказаться от стандартной формулы для импульса р как производной по времени от координаты х и также пустить р «качаться на ветру». Тогда х (і) и р (t) становятся двумя независимыми пробными функциями в новом вариационном принципе:
К счастью, стандартная формула для импульса как функции скорости получается без экстремизации по р (t). Экстремизация по х (t) дает уравнение движения, как и в более элементарном вариационном анализе Эйлера и Лагранжа, где x(t) — единственная пробная функция. Дальнейший анализ этой эквивалентности между двумя видами вариационных принципов в механике частиц проводится в дополнении 21.1. Там же можно найти два вида вариационных принципов в применении к электродинамике.
Чтобы выразить вариационный принцип Гильберта через величины Tfcliv и которые рассматриваются в качестве первичных функций t, х, у, z, заметим, что лагранжева плотность равна
Ьгеом (- 8)Уз = (1/16n)wR (- gfh = (l/ібя) ga*RaB (- g)y\ (21.15)
Здесь, как и в любом пространственно-временном многообразии с аффинной связностью, имеем (гл. 14)
R\m = дТ^/дх» - дГ'\»/да? + Г^Гй,-T^rail (21.17)
и каждая функция Г заранее задается в системе координат симметричной по двум нашим индексам. Чтобы интеграл I из (21.2), (21.3) был экстремальным, требуется, чтобы вариация I из-за
Единственный естественный выбор скалярного инварианта крнвнвны
Представление о независимом варьировании координаты я импульса
H(p(t), X (t), t) J dt == экстремум. (21.14)
X', t'
(21.16)
где
2
134 21. Вариационный принцип и начальные данные
изменения как g^v, так и Г, равнялась нулю; таким образом,
0=,8/ = (1/16*) {6[g“piiap(-g)1/2]d4s+ j 8 [Lnoail (-g)1/s]d4*.
(21.18)
Рассмотрим теперь вариации отдельных множителей в первом и втором интегралах (21.18). Вариация первого множителя тривиальна, В вариацию второго множителя Ra^ изменения ga& не вносят вклада; появляются только изменения Г. Кроме того, даже _ если Функция Г„в сама по себе не тензор, вариация ее 8Г?п являет-
ОBhoHOOTJA ЯВЛЯЄТ- ^ “
ся тензором ся тензором. 1ак, в формуле преобразования
ГЪ = [1^iT jT+-^] iT- (21Л9)
L дха дх& SxaSxpj дх
последний член нарушает тензорный характер каждого отдельного набора Га*, но в разности бГ^ между двумя альтернативными наборами Г происходит компенсация этих членов. Заметим, что вариация типичной компоненты тензора кривизны SiZ^aiiр состоит из двух членов вида бГ^р^ и четырех членов вида ГбГ (для простоты индексы опущены). При рассмотрении тензора одна система координат не имеет никаких преимуществ перед другой. Поэтому выберем систему координат, в которой все наборы Г в рассматриваемой точке исчезают. Члены ГбГ пропадают. В этой системе координат вариация кривизны выражается через первые производные величины типа бГд р. Далее необходимо только заменить обычные производные на ковариантные, чтобы получить формулу, справедливую в любой системе координат,
8Д*«цР = 8Г?р; ц -бГ^;р, (21.20)
и ее свертку
8Д«а = 6Г?Р;х -бГ^;р. (21.21)
Третий множитель в вариационном принципе есть (—g)1/2. Его вариация (упражнение 21.1) равна
s i-g)1'2= - (21-22)
Другое подынтегральное выражение, а именно лагранжева плотность Luonn, будет зависеть от имеющихся полей и их производных, причем предполагается, что она содержит только саму метрику gw и не содержит какие-либо производные от gW.
Для существования экстремума необходимо, чтобы следующее выражение было равно нулю:
(l/16n)J[(i*aa—!^РД)б?“Р+?“Р(6Г?р;* _8Г2л; р Jj(^)1V* +
+ 5 Vp (-0^ = 0. (21.23)
§ 21.2. Принцип действия Гильберта и вариационный метод 135
2
Сосредоточии вникание в (21.23) на члене, содержащем вариа* дни Г:
