Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 21J. Динамика требует начальных данных 131
2
Сегодня, как это изложено в § 21.11, формализм АДМ находится в стадии разработки. В трактовке подхода АДМ в уилеровской «суперпространственной» форме [HO] считается, что 3-геометрия фиксирована на каждой из граничных пространственноподобных гиперповерхностей. В противоположность этому Йорк (§ 21.11) возвращается назад к первоначальному принципу действия Гильберта и находит то, что должно быть задано на каждой из граничных пространственноподобных гиперповерхностей. Соответствующими данными оказываются «конформная часть 3-геометрии» плюс нечто, близко связанное с тем, что Кухарж [111, 112] называет «внешним временем». Особенно ясный контраст между подходами Уилера и Кухаржа — Йорка обнаруживается, когда 1) рассматривается плоское пространственно-временное многообразие,
2) в этом пространстве-времени делается плоское пространственноподобное сечение и затем 3) на полученном сечении вводится небольшая выпуклость веса є. 3-геометрия, внутренняя по отношению к этому деформированному сечению, отличается от эвклидовой геометрии только во втором порядке по є. Поэтому обратный переход от полной 3-геометрии ко времени («продвижение выпуклости вперед») требует в данном случае операции типа извлечения квадратного корня. В отличие от этого в трактовке Кухаржа — Йорка рассматривается «внешняя кривизна» сечения, нечто пропорциональное первой степени є и поэтому обеспечивающее в некотором смысле более удобную меру времени (о построении «внешнего времени» для произвольно сильных цилиндрических гравитационных волн, см. особо [111]; см. также дополнение 30.1
о «времени», по-разному определенном в модели «перемешанного мира»). Йорк показывает, что наиболее удобно отождествлять временную переменную с переменной, динамически сопряженной с конформным множителем 3-геометрии.
Проблему начальных значений в геометродинамике можно сформулировать либо на языке Уилера, либо на языке Кухаржа и Йорка. В любой формулировке (§ 21.9 или § 21.11) проливается свет на современное понимание принципа Маха (§ 21.12). Этот принцип означал для Маха, что «ускорение», рассматриваемое в ньютоновской механике, может иметь смысл, только если это ускорение по отношению к неподвижным звездам или к чему-нибудь, равным образом полностью определенному. Он привел Эйнштейна к общей теории относительности. В современной формулировке принцйп гласит, что «масса-энергия там определяет инерцию здесь», и ему дано математическое выражение в виде уравнений для начальных значений.
Анализ проблемы начальных значений связывает прошлое и будущее через пространственноподобную гиперповерхность. В противоположность этому при рассмотрении (§ 21.13) условий сшивки одного решения уравнения поля Эйнштейна (скажем, фридмановской геометрии, внутренней по отношению к сферическому облаку пыли однородной плотности) с другим решением
Другой выбор данных на гра* ничной гиперповерхности: конформная часть
3-геометрии пяюо внешнее время
Co временны й Мах: масса-анергия там определяет инеріщю здесь
9*
2
132 21. Вариационный принцип и начальные данные
Вариационный принцип — простейший путь к уравнению Эйнштейна
(скажем, шварцпшльдовской геометрией, внешней по отношению к этому облаку пыли) сталкиваются с гиперповерхностью, соответствующей времениподобному вектору. Данная глава заканчивается замечаниями о гравитационных ударных волнах и о проблеме начальных значений (например, формулировка начальных данных на световом конусе).
§ 21.2. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ГИЛЬБЕРТА И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД ПАЛАТИНИ
За пять дней до того, как Эйнштейн представил свой геометродинамический закон в окончательной и теперь классической форме, Гильберт, воодушевленный более ранней работой Эйнштейна, независимо сформулировал [47] этот закон в простейшей из возможных форм как следствие принципа действия [см. (21.2), (21.3)]:
?геом = (1/16я)“»Д. (21.13)
(При переходе от геометрических единиц, в которых записан данный лагранжиан, к обычным единицам замените 1/16я на с3/16лб?; при переходе же от динамической фазы, выраженной в единицах действия, к действительной фазе волновой функции, выраженной в радианах, разделите на Й ~ L*2.) Здесь wR — скалярный инвариант четырехмерной кривизны, разобранный в дополнении 8.4.
В приведенный выше принцип действия входят вторые производные- от метрических коэффициентов. В противоположность этому принцип действия в механике содержит только первые производные динамических переменных, и аналогично в принцип действия в электродинамике входят лишь производные dAJdxПоэтому и здесь можно было ожидать, что принцип действия будет содержать лишь первые производные вида dg^Jdx'*. Однако из этих первых производных невозможно построить скалярный инвариант. Чтобы быть инвариантом, лагранжиан Lreotl обязан иметь величину, не зависящую от выбора системы координат. Ho в окрестности данной точки можно всегда выбрать систему координат, в которой все первые производные от ^liv исчезают. С точностью до постоянной не существует скалярного инварианта, который можно было бы построить однородным образом из метрических коэффициентов и их первых производных.
