Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
= (индикатор изменения от ^ к 31) = — хб*. Для полной вариации в конеч-ной точке находим, таким образом, Дх = бх + x6t н
б5=-^-6х-(х-^--L) 6t. (4)
дх ' я~
дх
Поэтому приходим к заключению, что «дисперсионное соотношение» можно получить, если взять соотношения {ср. (2) и (4)]
/скорость изменениях I динамической фазы I = (импульс) = р =.
\С положением / Qx
(5)
(скорость изменениях . QJj
динамической фазы ) = (энергия) = E -х —— со временем I дх
•L,
(6)
м исключить из них X [решите (5) для X и подставьте это значение х в (в)];
дисперсионное соотношение имеет вид
E= H (р, X, t)
или
SS „ I dS л Ht ~ \ дх * *’ tZ*
(7)
(8)
Каждая черта этого элементарного анализа имеет аналог в электродинамике
§ 21.1. Динамика требует начальных данных 129
2
метрии, согласно формуле
6S = -J nUmtaBgij d3x, (21.10)
определяет «импульс поля» Листин сопряженный геометродинамической координате поля gtj. Если сравнить это уравнение из канонической формулировки геометр о динамики Арновитта, Дезе-ра и Мизнера (АДМ) с выражением из элементарной механики для изменения действия при изменении конечной точки
65 = р&х - Ebt, (21.11)
то может показаться с первого взгляда, что здесь что-то неправильно, поскольку в (21.10) нет явного намека на время. Однако 3-геометрия сама автоматически несет информацию о времени, а потому равенство (21.10) полно. Волее того, если в формуле нет «временной» переменной, а информацию о времени несет сама 3-геометрия (Я)&, то в формуле также отсутствует и «энергия». Поэтому «дисперсионное соотношение», связывающее скорость изменения действия с некоторыми изменениями «координат поля», или 3-геометрии, принимает вид
M (я«, gmn) = о, (21.12)
т. е.г = 0в (21.8) (подробнее см. § 21.7). Из этого гамильтониана, который лучше назвать «супергамильтонианом», можно извлечь все содержание общей теории относительности Эйнштейна. [Оценка вкладов Дирака, Арновитта, Дезера и Мизнера и других в гамильтонову формулировку геометродинамики содержится в [108], стр. 1113—1118; о значении и следствиях этой формулировки см. § 21.7 и последующие параграфы этой главы.]
Отличие гамильтониана от супергамильтониана (см., например, [109]) нигде не проявляется более ясно, чем в задаче о сопряженной частице, движущейся в плоском пространстве под дей-
ствием поля, выведенного из электромагнитного 4-потенциала A11 (Xа). В гамильтоновой трактовке уравнение движения выводится из принципа наименьшего действия
0 = 6/ = 6 j [рг ^—Н (р}, Xk, ?) J dt,
где
н = -j ф + [т* + г)'’ + (Pj + -j A})J/l.
В супергамильтоновом анализе уравнения движения получаются из принципа действия
0 = 6/'= 6 j ^pvi (Pa, гр)]гіЯ.
Сопоставление гамильтониана и оупергажихьч тониана
9-01508
2
130 21. Вариационный принцип и начальные данные
Динамическая
ЭВОЛЮЦИЯ
геометрии
Здесь супергамильтониан определяется выражением
<&S (PaI зР) = ~2 ?mZ + 1Iliv (/’и (^v+ T^v) J •
Вариационный принцип дает гамильтоновы уравнения для скорости изменения координаты и импульса
dxa/dk = dSe/dpa, dpp/dk = — dSS/dx^.
Как выясняется из этих уравнений, супергамильтониан SS должен быть постоянной, не зависящей от времениподобного параметра Я. Величина этой постоянной должна быть задана в качестве начального условия SS = 0 («спецификация массы частицы»), после чего она поддерживается самими гамильтоновыми уравнениями. Равенство нулю SS никоим образом не означает исчезновение частных производных
dSS/dpa и —dSS/dx&,
которые входят в гамильтоновы уравнения для скоростей
dxa/dk и dppldh.
Выведенные в одном или в другом формализме уравнения движения эквивалентны, однако ковариантность проявляется более ясно в супергамильтоновом формализме; аналогично обстоит дело и в общей теории относительности.
Допустимые значения «координат поля» gu (х, у, z) в 3-геометрии (<S)S) и импульсов поля Лисшн (х, У, z) = bSlbgij, совместимые с (21.12), называются «совместимыми начальными данными на исходной гиперповерхности». Можно продолжить, как это описано в § 21.8, последовательное интегрирование по времени шаг за шагом от одной пространственноподобной гиперповерхности к другой и построить вею 4-геометрию. Здесь рассматриваются, согласно математической терминологии, гиперболические дифференциальные уравнения, которые имеют характер волнового уравнения.
В противоположность этому, когда сначала пытаются сформулировать необходимые начальные данные (§ 21.9), то рассматриваются эллиптические дифференциальные уравнения, имеющие характер уравнения Пуассона для потенциала. При анализе этих эллиптических уравнений полезно различать в 3-геометрии
1) часть метрики, которая определяет относительные длины в точке, т. е. углы («конформная часть метрики»), и 2) общий множитель, который входит во все компоненты gij в точке и определяет абсолютный масштаб длины в этой точке. Это разбиение 3-геометрии на две части обеспечивает особенно простой способ рассмотрения двух специальных проблем для начальных значений — симметричной и антисимметричной по времени (§ 21.10).
