Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Внутренняя 3-геометрия индивидуального сечения или «гиперповерхности одновременности» определяет в себе и собой трехмерную риманову кривизну, внутреннюю по отношению к этой гиперповерхности; однако для полного описания этой гиперповерхности необходимо также знать внешнюю кривизну (§ 21.5), указывающую, как данная гиперповерхность искривлена по отношению к окружающему четырехмерному пространственно-временному многообразию.
Исходя из расщепления 4-геометрии на пространство плюс время, можно придать принципу действия Гильберта простую и полезную форму (§ 21.6).
В наиболее элементарном примере приложения принципа действия в механике, где записывают
х, t
/= ? L (dx/dt, х, t) dt (21-4)
X', ('
и находят экстремум интеграла, уже известно, что получающаяся «динамическая длина пути», или «динамическая фаза», или «действие»,
S (ж, t) = /зкстремумі (21-5)
является существенной величиной по меньшей мере потому, что оно дает (с точностью до коэффициента К) фазу квантовомеханической волновой функции. Кроме того, скорость изменения действия с положением определяет импульс
р = dS (х, t)/dx, (21.6)
§ 21.1. Динамика требует начальных данных 127
2
а скорость (со знаком минус) изменения действия со временем дает энергию (фиг. 21.1)
E = -dS (х, t)ldt. (21.7)
Связь между этими двумя характеристиками системы волновых гребней
E = H (р, х), (21.8)
которую можно назвать «дисперсионным соотношением» или как-нибудь иначе, представляет собой главный предмет обсуждения в механике.
Если рассматривать динамику геометрии в формулировке Арно-витта — Дезера — Мизнера г), то оказывается удобным считать заданными 3-геометрию начальной пространственноподобной гиперповерхности и 3-геометрию <8,?/ конечной пространственноподобной гиперповерхности. Интеграл действия рассматривается как экстремальный по отношению к выбору пространства-времени, заполняющему «сандвич» между этими поверхностями. Если про-странство-время определено таким образом, то каждым таким актом автоматически определено разделение собственного времени на этих двух гиперповерхностях. Никакой дополнительной временной переменной не вводится и не рассматривается. Таким образом, понятие (3)$ заменяет в геометродинамике две величины х и t динамики частиц. Действие S, которое зависело там от х и t, зависит здесь от • 3-геометрии на поверхности сандвича; таким образом,
S = (21.9)
Изменение 3-геометрии приводит к изменению действия. Величина изменения действия, вызванного элементарным изменением 3-гео-
1O К истории вопроса. До недавнего времени никто не звал, какая не зависящая от выбора координат геометрическая физическая величина фиксируется в действительности на пределах в вариационном принципе Гильберта — Палатини. В своей пионерской работе по гамильтоновой формулировке общей теории относительности Дирак не уделил специального внимания какому-либо вариационному принципу. Он должен был обобщить гамильтонов формализм, чтобы приспособить его к общей теории относительности, вводя «связи первого и второго класса» и обобщения скобок Пуассона классической механики. В противоположность этому в работе Арновитта, Дезера и Мизнера за основу всего изложения берется вариационный принцип в таком виде, будто они не интересуются, какая не зависящая от выбора координат геометрическая физическая величина фиксируется на пределах. Крупным результатом этой работы было отождествление функции хода и функции сдвига из уравнения (21.40) с лагранжевыми множителями, козффициенты при которых давали прямо и просто дираковские связи. Им не удалось получить естественную и простую временную координату, но зта цель была достигнута с помощью понятия «внешнего времейи», введенного Кухаржом и Йорком (§ 21.11). Однако подход Арновитта — Дезера — Мизнера открыл дверь К. «внутреннему времени» Шарпа, Баэйрлайна и Уилера, где 3-геометрия задана на пределах и 3-геометрия несет информацию о времени, а это прямо ведет к уилеровской «суперпрострвнствевной версии» трактовки подхода Арновитта, Дезера и Мизнера.
Гаинаьтонван как дисперсион-ное соотношение
Действие как функция 3-геометрии
128 21. Вариационный принцип и начальные данные Я
ФИГ. 21.1.
Рассмотрение импульса и (с отрицательным знаком) энергии как скорости изменения «динамической фазы», или «действия»,
5 (х, t) = Iэкстремум (х< 0в х, (
/экстремальное\ Г . . • . ...
“(значение ) ) x't)dt <1}
г
6S — б^экстремум — х, t) Ы + J
относительно положения н времени, т. е.
«5 = рбх — E8t. (2)
Вариация интеграла I относительно изменения истории вдоль пути bx(t) уже равна нулю по причине «оптимизации истории», поэтому будет иметь место лишь единственное изменение зс+Д*. I
S Ldt =
х+Лх, t
— L6t+ f / бх-|—Q—bx\dt = Lbt+ Sx+
Jt, К Эх дх ’ дх
X', t'
дх
х+Дэс, (
+ J (
dL d dL
дх dt
х\ г
дх
(3)
равно нулю в силу экстремальности
Если рассматривается только изменение бх координата (х, *) конечной точки (изменение исторнн от 05° к Od), то Лх = ох. Если производится лишь изменение 6t в конечной точке (изменение истории от Q& к Q&), то Дх =»
