Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Вещи являются такими, какие они есть, потому что они были такими, какими они были.
ТОМАС ГОЛД. 1972 г.4)
Calculemus
ЛЕЙБНИЦ, 1961 г.«)
Эта глава полностью относится к курсу 2. Никакого предварительного знакомства с ранее рассмотренным материалом из курса 2 здесь не требуется, однако гл. 9—11 и 13—15 будут полезны. Данная глава необходима как подготовительный материал к дополнению 30.1 о перемешанном мире и к гл. 42 и 43.
§ 21.1. ДИНАМИКА ТРЕБУЕТ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Нет более ошибочного и в то же время более правильного плана предсказания динамики геометрии, чем следующий: задайтесь распределением массы-энергии и затем для нахождения геометрии решите эйнштейновское уравнение второго порядка
G = 8яТ. (21.1)
х) Мы сердечно благодарим Карела Кухаржа, Клаудио Тайтельбойма и Джеймса Йорка за участие в подготовке этой главы. Мы признательны ва разрешение воспользоваться лекционными записями Кухаржа и сослаться на его результаты (особенно в упражнении 21.10) и результаты Йорка [особенно уравнения (21.87), (21.88) и (21.152)] до их опубликования.
2) Из книги [105].
3) Из книги [12].
4) Из разговора с Уилером.
5) Слово (исчисление) из неозаглавленного очерка, входящего в работу [106].
§ 21.1. Динамика требует начальных данных 125
2
Задаться распределением массы-энергии в пространстве-времени и найти геометрию пространства-времени? Нет. Задаться полями, которые генерируют массу-энергию, и скоростью их изменения CO временем, задаться 3-геометрией пространства и скоростью ее изменения со временем в одно и то же время и найти 4-геометрию пространства-времени в то же самое время? Да. И только в этом случае уравнения геометродинамики и динамики полей сами по себе без дальнейших предписаний извне (нужна только работа!) позволяют предсказывать для всех моментов времени как геометрию пространства-времени, так и течение массы-энергии. Короче говоря, это есть «план» построения геометродинамики, который будет подробно разобран в данной главе.
Можно оспаривать этот план. Указать, что искусство решения любой связанной системы уравнений заключается в отделении неизвестных от известных или заданных величин. Настаивать на том, что такое разделение уже проведено в уравнении (21.1). В правой стороне уже стоит источник кривизны, в левой — приемник кривизны в интересующей нас форме: в виде дважды продифференцированных метрических коэффициентов. Заявлять потому, что ничего не остается делать, кроме как идти вперед и решать уравнения для метрических коэффициентов. Однако при более глубоком анализе структуры уравнений (о логическом обосновании анализа связанной системы уравнений в частных производных см. [107]) обнаруживается, что произвести должным образом разделение «источника и приемника» можно, только если сначала произведено еще более важное разделение между «начальными данными и будущим». Таким образом (если просуммировать результаты до проведения анализа), из 10 компонент уравнения Эйнштейна 4 связывают кривизну пространства здесь и теперь с распределением массы-энергии здесь и теперь, а 6 других гласят, как будет эволюционировать найденная таким образом геометрия.
При определении того, какие начальные данные следует задать в соответствующем случае, нет более полезного ведущего принципа, чем вариационный принцип Гильберта
dix = ? L(—g)1/tdix = ILd (собственный 4-объем)-экстремум
T я (21.2)
!____упражнение 8.16
или вариант этого принципа (§21.6), предложенный Арновиттом — Дезером — Мизнером (АДМ) и обобщенный далее Кухаржом (§ 21.9). Исходя из принципа Гильберта, можно наиболее прямо выявить то, что следует фиксировать на пределах (на начальной пространственноподобной гиперповерхности и на конечной пространственноподобной гиперповерхности), и если необходимо иметь полностью определенную задачу на экстремум, то следует проварьировать геометрию (§ 21.2) по пространству-времени, «заполняющему этот сандвич».
Для предсказания
геометрии
задайте
начальные данные
Иа 10 компонент уравнения Эйнштейна 4 представляют оо бой условия на начальные данные
2
126 21 • Вариационный принцип и начальные данные
Новый вывод тсааора авергии-нмпухьса
Функция Лагранжа L (скалярная функция) или лагранжева плотность X = (—g)1/2L (величина, которая должна быть проинтегрирована по координатному объему) в искривленном пустом пространстве строится только из геометрии; однако обычно в пространстве присутствуют поля, которые вносят вклад в лагранжиан:
«55 = <5?геом + <5?поля = ( — Е)
L = Z/reом ^noля-
Варьирование лагранжиана Ьпапн по типичному метрическому коэффициенту оказывается во всех отношениях наиболее удобным способом для получения (т. е. для вычисления) соответствующих компонент симметричного тензора энергии-импульса поля (§ 21.3).
Компьютер, учитывающий влияние этого поля на геометрию и вычисляющий эволюцию метрики со временем последовательно от одного момента времени к другому, налагает собственное упорядочение на события пространства-времени. Фактически он разрезает пространство-время на большое число пространственноподобных сечений. При этом оказывается наиболее удобным «навести отдельную бухгалтерию» 1) на 3-геометрию отдельных сечений и 2) на связь между одним таким сечением и следующим, выраженную через «функцию хода» N и 3-векторную «функцию сдвига» N1.
