Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
S 20.6, Вывод уравнений движения ив уравнения поля 121
отсчета, в которой поле нмеет вид _Е = (О, F, 0), В = (0, 0, F)t а тензор энергнн-нмпульса поля нмеет величину
»гМ1~?
-110 0 -110 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(индекс ft для строк, индекс V для столбцов).
(20.60)
м. Покажите, что независимо от того, равно или не равно нулю электромагнитное поле, след максвелловского тензора энергии-импульса равен нулю, Т\ = 0, а его квадрат кратен единичному тензору
TixaTa4-
(8я)2
[(.E2-B2)2+(2.Е-В)2] =
6*\
(20.61)
20.7. Тензор эиергин-импульса определяет злектромагннтное поле с точностью до угла дуального поворота
а. Задавшись ненулевым симметричным 4x4 тензором
с нулевым следом Т\ = 0, квадрат которого кратен величине MiI(Sn)2, умноженной на единичную матрицу, покажите, что в зависимости от того, равно нулю («нулевой случай») или положительно это кратное, тензор можно привести к виду (20.60) или
(20.59) подходящим вращением в 3-пространстве или соответственно подходящим выбором локально инерциальной системы отсчета.
б. В вырожденном (ненулевом) случае в рассматриваемой системе отсчета покажите, что T^v является максвелловским тензором энергии-импульса «электромагнитного поля экстремального типа» Iltv с компонентами
(20.62)
Bmeam = (0,0,0).
Покажите, что он является также максвелловским тензором «дуального экстремального поля» 4Iltv с компонентами
* ^внешн = -Q Q Qj
(20.63)
*Ввнвшн = (М,0, 0).
в. Вспоминая, что двухкратное применение операции вуалирования (*) к антисимметричному тензору второго ранга (2-форма) в четырехмерном пространстве приводит к тому же тензору с отри-
2
УПРАЖНЕНИЯ
122 20. Законы, сохранения 4-импульса и момента импульса
цательным знаком, покажите, что оператор е*®(«дуальное вращение») имеет величину
е*“ = (cosa) + (sin а)*. (20.64)
г. Покажите, что наиболее общим электромагнитным полем, которое может воспроизвести ненулевой тензор T1Iiv в рассматриваемой, а потому и в любой системе отсчета, будет поле
= e*“^v (20.65)
д. Выведите соответствующий результат для нулевого случая.
[Поле Fv!V, определенное (в п. «г» и «д») в одной, а потому в каждой системе отсчета, называется «максвелловским корнем квадратным» из TIiv, поле Iliv — «экспериментальным максвелловским корнем квадратным» из Jtiv, угол а — углом «дуального поворота электромагнитного поля». Cm. [102], а также дополнения 20.1 и 20.2,
написанные по этой статье.]
20.8. Если в протяженной области (E-B) =0,
то уравнения Максвелла нельзя вывести из закона сохранения энергии-импульса
Постройте контрпример к утверждению, что уравнения Максвелла
FllvJV = O
следуют из уравнения Эйнштейна; или, более точно, покажите, что даже если 1) дивергенция максвелловского тензора энергии-импульса равна нулю и 2) максвелловское поле есть ротор 4-потенциала Ajl, уравнения Максвелла нарушаются. [Указание: Анализ упростится без потери для существа дела, если рассматривать проблему в плоском пространстве-времени. Отсылаем к статье Тайтельбойма [93], в которой проведено разбиение запаздывающего поля произвольно ускоренного заряда на две части, из которых вторая, Filvu, удовлетворяет сформулированным требованиям и везде вне мировой линии имеет (Е •В) = 0, однако не удовлетворяет вышеприведенным уравнениям Максвелла].
20.9. Уравнение движения скалярного поля как следствие уравнения поля Эйнштейна
Тензор энергии-импульса безмассового скалярного поля выбран в виде
Tilv = (UAn) (f ^.v-yiW.af "). (20.66)
Выведите уравнение движения этого скалярного поля из уравнения поля Эйнштейна.
§ 20.6. Вывод уравнений движения иа уравнения поля 123
Дополнение 20.1. ОТЛИЧИЕ СОБСТВЕННО ЛОРЕНЦЕВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОТ ДУАЛЬНОГО ВРАЩЕНИЯ
Общее собственное
Величина преобразование Дуальное вращение
Лоренца
Компоненты максвелловского тензора энергии-импуль- Преобразуются He изменяются
са или «максвелловского квадрата» поля JF
Инварианты E2— B2 и (E-B)2 He изменяются Преобразуются
Комбинация [(JS2—В2)2 + (225-В)2] = KE2+ В2)2— He изменяется He изменяется
— (2 Е-В)2\
Дополнение 20.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРОЖДЕННОГО (НЕНУЛЕВОГО) ТЕНЗОРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ F = (Е, В)
В ЛОКАЛЬНО ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
__________________ После упрощенного дуального
Полевые величины Вначале нпяшеяия
Вначале
После упрощенных преобразований Лоренца
Е, В
EuB параллельны друг другу и оси х
EuB перпендикулярны H E больше В
E параллелен оси х, a B=O
21. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП И НАЧАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ”
Всякий раз, когда в природе происходит какое-либо изменение, величина действия, вызванного этим изменением, является наименьшей из возможных.
ПЬЕР МОРО ДЕ МОПЕРТЮИ, 1746 Г.І)
В теории тяготения, как и во всех других областях теоретической физики, проблема должна быть математически правильно сформулирована в той мере, в которой это позволяет природа проблемы; если возможно, то формулировка должна обеспечивать однозначность решения проблемы.
ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ ФОК, 1959 Г.З)
