Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому способность приводить к правильному уравнению движения частицы стала сегодня дополнительным козырем в руках общей теории относительности. Идея такой трактовки восходит к Эйнштейну и Громмеру [98]. Поправки к уравнению движения по геодезической, возникающие из-за взаимодействия спина объек-
1J О движении черной дыры во внешнем гравитационном поле см. [513]. — Прим. ред.
§ 20.6. Вывод уравнений движения из уравнения поля Ц9
2
та (обладающего конечными размерами) и кривизны фоновой геометрии, рассматривались Папапетру [99] и более подробно Пира-ни [100] (см. также упражнение 40.8). Этому вопросу посвящена книга Инфельда и Плебаньского [16]. В § 40.9 показано, как поправки к уравнению движения по геодезической вносят свой вклад в орбиты Луны и планет. Некоторые проблемы, возникающие, когда изучаемый объект фрагментирует или испускает направленный поток излучения, а также нерешенные принципиальные вопросы обсуждались Уилером [101].
Если обратиться от объекта бесконечно малой массы в пределе к объекту конечной массы, то непростую ситуацию будет тогда представлять система незаряженных черных дыр (гл. 33). Все, что можно сказать о движении этих объектов, следует из уравнения Эйнштейна без источников Q = 0, примененного к области пространства-времени, лежащей вне горизонтов (см. гл. 34) нескольких объектов. Теорией, описывающей движение, является в таком случае геометродинамика и только геометродинамика.
Следует подчеркнуть, что рассмотрение движения в этом параграфе проводилось полностью в рамках классической теории. В реальном мире, описываемом квантовой физикой, геометрия везде испытывает неизбежные, естественные нулевые флуктуации (гл. 43). Вычисленные локальные кривизны, связанные с этими флуктуациями в масштабах порядка планковской длины [L = = (HGIcя)1/2 = 1,6 -10_яа см], громадны [i? ~ IILi ~ 0,4-IOee см-2] по сравнению с кривизной, создаваемой в значительно больших масштабах любым известным объектом (электроном или звездой). Детальный анализ взаимодействия этих двух кривизн не проводился. Такой анализ должен дать сглаженную геометрию, усредненную по областям с размерами, превышающими локальные квантовые флуктуации. В этой усредненной геометрии объект будет двигаться по геодезической. Это то, что ожидается (и тут нет причин для вопроса), но еще не было доказано
20.6. Простые свойства электромагнитного поля и тензора энергии-импульса электромагнитного поля
а. Покажите, что «скаляр»—1/2 FapFa& (инвариантный относительно преобразований координат) и «псевдоскаляр» 1/4 F%,$Fa$ (воспроизводящий себя при преобразовании координат с точностью до знака ± в зависимости от того, положителен или отрицателен якобиан преобразования) в любой локально инерциальной системе отсчета принимают значения соответственно Ei—JBa и E •В («два лоренц-инварианта» электромагнитного поля).
б. Покажите, что всегда, кроме исключительного случая, когда оба лоренц-инварианта равны нулю (случай, когда поле локально равно «нулю»), вектор Пойнтинга (Е X /ї)/4іх по величине меньше, чем плотность энергии (Ei + В2)/8п.
Кваятовонехвни-ческне ограничения вывода
УПРАЖНЕНИЯ
2
120 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
УПРАЖНЕНИЯ
в. Заряженный мячик расположен на небольшом расстояния от северного полюса полосового магнита. Нарисуйте картину электрических и магнитных силовых линий, указав «нулевые» точки поля. Законно ли говорить, что «нулевое поле» является «полем излучения»?
г. Покажите, что электромагнитное поле, соответствующее плоской электромагнитной волне, распространяющейся в направлении z, везде равно нулю.
д. Покажите, что суперпозиция двух монохроматических плоских волн, распространяющихся в различных направлениях, равна нулю самое большее в семействе точек, обладающих мерой нуль.
е. Покажите, что в «вырожденном» случае, когда поле (E, В) в интересующей точке не равно нулю, вектор Пойнтинга сводится к нулю в локально инерциальной системе отсчета, движущейся в направлении E X В со скоростью
и = tha, (20.57)
где параметр скорости ос описывается формулой
*г. о- (вектор ПоЙНТИНГа) 21 E X ВI #9ПЧЯ\
(плотность энергии) -E2+B2
ж. Покажите, что в новой системе отсчета все компоненты электрического и магнитного полей можно положить равными нулю, кроме Ex и Bx.
з. Покажите, что 4x4 детерминант, простроенный из компонент поля в смешанном представлении , инвариантен относительно общих преобразований координат. (Указание: Воспользуйтесь теоремой, гласящей, что детерминант произведения трех матриц равен произведению детерминантов этих матриц.)
и. Покажите, что будучи вычисленным в специальной локально инерциальной системе отсчета (е), этот детерминант имеет величину -(E-Bf.
к. Покажите, что в этой же системе отсчета максвелловский тензор энергии-импульса имеет вид
ГМІ =
— 1 0 0 0
Ex2+ Bx2 0 — 1 0 0
8л 0 0 + 1 0
0 0 0 +1
(20.59)
Фарадеево натяжение вдоль силовых линий; фарадеево давление перпендикулярно силовым линиям.)
л. Покажите, что в остальных случаях, когда поле локально равно нулю, всегда можно найти локально инерциальную систему
