Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
б (метрика) ~ г2-R -(вторая сферическая гармоника). (20.44)
Здесь г — расстояние от геодезической и R — величина главных компонент тензора кривизны. Объект вызывает не только стандартное «шварцшильдовское» отклонение от метрики плоского пространства-времени
б (метрика) ~ т/г, (20.45)
которое само по себе (на плоском фоне) не вызывает отклонения от движения по геодезической, но приводит к поправочным членам; их символически можно записать как
б (метрика) ~ (?/г2)(первая сферическая гармоника), (20.46)
б (метрика) ~ (f/r3)(BTopaH сферическая гармоника) (20.47)
и члены высшего порядка. Здесь ?(см®) — типичная компонента вектора момента импульса или «спина», і (см.3) — характерная компонента момента инерции или тензора квадрупольного момента (подробнее см. гл. 36). Члены высшего порядка имеют коэффициенты более высокого порядка.
Приливное ускорение объекта, порождаемое окружением объекта («фоновой геометрией»), действует на спин объекта с силой порядка RS и отклоняет его от движения по геодезической с ускорением порядка RS:
R (CM-2) S (CM2) __ -Q4
ускорение (см *) ~ — ----- —г---------------------— (20.48)
т
(см. упражнение 40.8). Иначе говоря, окружение объекта и спин искривляют геометрию и эти искривления, тайно сговорившись, сталкивают объект с траектории.
§ 20.6. Вывод уравнений движения из уравнения поля Ц7
2
Сумма двух относящихся к делу возмущений метрики качественно имеет вид
Sg ~ r2R + SZia. (20.49)
Если
г ~ (SIR)1/*, (20.50)
сумма имеет наименьшую величину
Sg ~ (SR)1/2. (20.51)
Утверждение «вывести уравнение движения по геодезической с некоторой заданной точностью е» означает, что метрика в буферной зоне является метрикой Минковского с точностью е. В приводимом примере из этого следует, что (SR)1/2 должно быть порядка е или меньше. С величиной R ничего поделать нельзя, так как фоновая кривизна R характеризует фоновую геометрию. Можно наложить пределы только на массу и моменты объекта. Если, например, доминирующим моментом является момент импульса, то необходимо потребовать, чтобы он был по порядку величины меньше
S ~ B2IR- (20.52)
Очевидно, это и аналогичные условия, налагаемые на моменты более высокого порядка, легко удовлетворяются, если объект обладает сферической симметрией (S = 0, f = 0, высшие моменты равны 0). В таком случае (снова без учета угловых коэффициентов и индексов) возмущение метрики качественно имеет вид
бg ~ TaR + т/г, (20.53)
и буферная зона наилучшим образом ограничивает минимизирующее значение г
г^<[г ~ (m/R)1,s]^.r^. (20.54)
Отклонение метрики в буферной зоне от идеальной метрики Минковского порядка
Bg ~ (m2R)V3. (20.55)
Чтобы достигнуть для Sg любой заданной точности в, необходимо потребовать, чтобы масса была меньше
т~ в3Z2Zr1/2. (20.56)
Ни один из объектов конечной массы, движущийся под влиянием сложного фона, не обладает буферной зоной, в которой геометрия с произвольной точностью приближается к геометрии Минковского. Поэтому неверно говорить, что такой объект движется по геодезической мировой линии. Бессмысленно говорить, что объект конечной массы покоя движется по геодезической мировой линии. Мировая линия чего? Если объект является черной дырой, то внутри его «горизонта» (ловушечная поверхность, мембрана, пропускающая только в одном направлении; см. гл. 33 и 34) нет
Почему NU одно HS тех не может двигаться по геодезической пространотва-времени
2
118 20. Закони сохранения 4-импульса и момента цм пульс а
Почему пробные частицы должны двигаться по геодезическим фоновой геометрии
Движение варяженной пробной частицы в искривленном пространстве-времени
Работы, пос вящениые выводу уравнений движения из уравнения поая Эйнштейна
точки, связанной с физическими процессами, протекающими снаружи. Геодезическая мировая линия в какой фоновой геометрии? Бессмысленно говорить о геометрии, которая «лежит за» черной дырой или является «фоновой» по отношению к черной дыре г).
Перейдем от одного движения одного объекта в одном пространстве-времени к непрерывному однопараметрическому семейству пространств-времен, в котором масса объекта т. будет параметром, позволяющим отличать одно решение уравнений поля Эйнштейна от другого. Устремим т к 0. Тогда размер буферной зоны и отклонения метрики в ней от метрики Минковского будут стремиться к нулю. В этом пределе («пробная частица») имеет смысл говорить, что в локально инерциальной системе отсчета объект движется равномерно и прямолинейно, или, иначе говоря, он следует по геодезической фоновой геометрии. Кроме того, эта фоновая геометрия полностью определена: она представляет собой предельный случай геометрии пространства-времени при стремлении к нулю параметра т. (см. [95]). В этом смысле уравнение движения по геодезическим есть неизбежное следствие уравнения поля Эйнштейна.
Понятие «фона» как предела однопараметрического семейства пространств-времен обобщается на случай, когда объект в дополнение к массе обладает зарядом, а окружающее пространство заполнено электромагнитным полем. В этом случае однопараметрическое семейство состоит из решений объединенных уравнений Эйнштейна — Максвелла. Отношение заряда к массе, е/т., фиксировано. Масса т. по-прежнему является подгоночным параметром. В пределе при т. ->-0 получается 1) фоновая геометрия, 2) фоновое электромагнитное поле и 3) мировая линия, подчиняющаяся как следствие уравнений поля общерелятивистскому аналогу уравнения движения Лоренца в этом фоне [96]. В противоположность этому так называемая «единая теория электромагнитного и гравитационного полей», которую Эйнштейн в виде эксперимента выдвигал на одном из этапов своего творчества как альтернативу к комбинации своей классической геометродинамики 1915 г. и классической электродинамики Максвелла, как показал Коллауэй [97] приводит к неправильному уравнению движения заряженной частицы. Частица движется как незаряженная, независимо от величины переносимого ею заряда. Если бы такая теория была верна, то не работал бы циклотрон, не существовал бы атом и сама жизнь была бы невозможной.
