Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
УПРАЖНЕНИЕ
2
HO 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
Вмпод максвелловских уравнений в вакууме из уравнения поля Эйнштейна
то можно с неподдельным удивлением обнаружить, что уравнение Эйнштейна (20.31) плюс выражение (20.32) для максвелловского тензора энергии-импульса могут выполнять обе эти функции. He следует задаваться максвелловскими «уравнениями движения» (20.34). Их можно вывести непосредственно из (20.31) и (20.32). Доказательство проводится в определенной последовательности (см. также упражнение 3.18 и § 5.10).
1. Из тождества Бианки V-G = O следует закон сохранения энергии-импульса V-T = 0.
2. Закон сохранения выражается на языке компонент в виде
0 = 8л Jtivlv = 2^“; ^apFvf* + 2F'iagapFvfi-',l - g^'Fm-, ^Fax. (20.35)
3. Оставляя неизменным средний член, преобразуем первый член таким образом, чтобы он, как и последний, содержал множитель Fax. G этой целью заменим в первом члене индексы v|J у FyP на от и тег и разделим его на сумму
4. Комбинируя первый и последний члены в (20.35), получаем
Индексы у производных от тензора электромагнитного поля расположены в циклическом порядке. Если выписать явно ковариант-ные производные, то в силу этого обстоятельства все члены, содержащие коэффициенты связности Г“ру, аннулируются. Поэтому ковариантные производные можно заменить обычными. Более того, если выразить тензор электромагнитного поля через потенциалы согласно равенству (20.33), то сумма этих трех производных тождественно обратится в нуль. В результате в законе сохранения (20.35) останется только второй член, дающий четыре равенства ([і = 0, 1, 2, 3),
5. Детерминант, составленный из коэффициентов четырех уравнений (20.38) для четырех неизвестных (20.39), имеет величину
F»a,ogaxF*x + Fiia-^gaaFxa = (F\ а - F\ х) Fax =
= gPV (FVfi с -Ь F0V; т) Fa .
(20.36)
Siiv(Fvx-, о + Fav-х + Fxa- V)F".
(20.37)
FVrpv ;v = 0 для четырех величин (Р = 0, 1, 2, 3)
F^, v.
(20.38)
(20.39)
= — (Е ¦ В)2
(20.40)
рЗ «З гіЗ грЗ Iі QT \Г 2г- 3
( см. упражнение 20.6 п. «и»). В вырожденном случае эта функция четырех переменных (і, х, у, z) исчезает на одной или'нескольких
§ 20.6. Вывод уравнений движения из уравнения поля 1Ц
2
ФИГ. 20.1.
«Мировая трубка». Изменение 4-импульса частицы определяется потоком 4-импульса через границу мировой трубки.
гиперповерхностях. Однако вне каждой такой поверхности (т. е. в нормальных точках «пространства-времени») она отлична от нуля. Во всех нормальных точках решение четырех линейных уравнений (20.38) с отличным от нуля детерминантом приводит к тождественному обращению в нуль четырех неизвестных (20.39), другими словами, выполняются максвелловские «уравнения движения»
Ffvi4 = 0
и они должны выполняться как следствие уравнения поля Эйнштейна (20.31) плюс выражение (20.32) для тензора энергии-импульса. Специальные случаи допускают контрпримеры (см. упражнение 20.8), но в общем случае не обязательно взывать к максвелловским уравнениям движения, их можно вывести из уравнений поля Эйнштейна.
Обратимся теперь от динамики самого максвелловского поля к динамике заряженной частицы, движущейся под действием максвелловского поля. Заранее не будем отдавать предпочтения уравнению движения Лоренца перед уравнением движения Максвелла, а выведем его, обратившись еще раз к уравнению поля Эйнштейна или более непосредственно к его следствию — принципу локального сохранения энергии-импульса.
Возьмем отрезок мировой линии частицы от t = t до t = t + At (фиг. 20.1) и построим вокруг него «мировую трубку». Так, при каждом значении временной координаты t, принимая положение частицы за центр, проводим вокруг него сферу радиусом є; замечаем, как последовательные сферы образуют требуемую мировую трубку. Наденем на эту трубку «шапки» во времена t и t + At. Две шапки вместе с соответствующей мировой трубкой ограничивают область пространства-времени, в которой энергия и импульс не возникают и не исчезают (на-языке тождества Бианки, гл. 15, это означает, что «не рождается момент вращения»). Поэтому энергия и импульс, выходящие из «верхней» шапки, должны быть равны
Вывод уравнения для лоренцевой силы из уравнения полн Эйнштейна
2
112 Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
Действие на частицу ее собственного электромагнитного поля («радиационное торможение» )
энергии и импульсу, входящим в «нижнюю» шапку, плюс коли-чество энергии и импульса, переносимое поперек трубки максвелловским полем. Такой анализ, будучи проведенным в плоском пространстве-времени, приводит к уравнению Лоренца в элементарной форме (см. гл. 3 и 4)
df/dx = е (F, и) (язык форм)
или к уравнению движения Лоренца в ковариантной форме в искривленном пространстве-времени
VuP = mVuU = е (F* и> (язык форм)
или
+ = (язык компонент). (20.41)
«Приходим к уравнению движения Лоренца», но только после разрешения труднейших принципиальных проблем, возникающих на пути вывода. Чтобы понять, как со всей строгостью вычислить баланс энергии-импульса, нужно понять, что представляет собой частица! Немногие расчеты во всей физике делались столь многочисленными способами и столь многими ведущими исследователями от Лоренца и его предшественников до Дирака и Рерлиха (для более полного понимания см. [92, 93]). Из всего рассмотренного два вопроса не перестают привлекать внимания.
