Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Окружим эту асимптотически плоскую систему двумерной поверхностью of, покоящейся в некоторой асимптотически плоской лоренцевой системе отсчета. Тогда 4-импульс и момент импульса внутри (измеренные в системе покоя (5е) изменяются со скоростью
-^ = Xj r&d»* = J Г&. Od3X =
= - J TSU1 jd3x = - § TSittPSj (20.25)
20.5¦ Законы сохранения Ю7
2
и аналогично
=-§ {х»Т% - x'TUt) (PS1. (20.26)
S2
Хотя вклад псевдотензора в полные 4-импульс и момент импульса в области между телами и вне системы пренебрежимо мал (по предположению), вклад его, вносимый посредством гравитационных волн во временные производные dP^/dt и dJ»v/dt, просуммированный за астрономические периоды времени, может оказаться существенным. Поэтому им нельзя пренебрегать в интегральных потоках (20.25) и (20.26).
При вычислении этих интегральных потоков особенно удобно использовать форму Ландау — Лифшица для 7?, поскольку она не содержит вторых производных метрики. Положим
2?, = (-g) (Tflv + г?-ь) w (^v + *Г-ь), где tLV-L дается уравнениями (20.22). Вклад в интегральные потоки {20.25) и (20.26) могут вносить только те части l, которые затухают на больших г как 1/г2 или как 1 Ir3. Для статических решений Igliv ~ const + О (1/г)] псевдотензор L затухает как 1/г4. ¦Следовательно, вклад вносит только динамическая часть метрики, которая на таких больших расстояниях будет существовать лишь в форме гравитационных волн. Исследование гравитационных волн (гл. 35) покажет, что при усреднении по интервалу в несколько длин волн псевдотензор ^l-L превращается в тензор энергии-импульса T1(OW)IAv гравитационных волн, который обладает всеми свойствами, требуемыми от любого тензора энергии-импульса. (Например, согласно уравнениям Эйнштейна GWiav = он вносит вклад в «фоновую» кривизну пространства-времени, в котором распространяются волны.) Более того, указанное усреднение п0 интервалу в несколько длин волн до вычисления интегральных потоков (20.25) и (20.26) не влияет на величину интегралов. Следовательно, в этих интегралах можно свободно производить замену
7?= ^ + Tcgwhiv1
2) выраженные в виде
интегрального потока от
y(GWHiv
Это тензорные уравнения в асимптотически плоском пространстве-времени, окружающем систему. Все псевдотензоры и другие нетензорные величины исчезли.
получая в результате
= Q (Г«‘ + 74GW)W) JSjt (20.27)
— ф [х» {Tvj + r(QW)vj) — хч (Tvi -г T(QW)W')] dzSj. (20.28)
&
2
108 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульев
УПРАЖНЕНИЕ
Уравнения (20.27) и (20.28) гласят, что скорость потери 4-импульса и момента импульса системы, измеренная гравитационно, точно равна скорости, с которой уносят 4-импульс и момент импульса вещество, поля и гравитационные волны.
Эта теорема крайне полезна в мысленных экспериментах, где можно представить себе изменение 4-импульса и углового момента высокорелятивистского тела (например, вращающейся нейтронной звезды), бросая в него издалека частицы (см., например, [91]).
20.5. Полная масса-энергвя в ньютоновском пределе
а. Вычислите tl?-b ДЛЯ почти ньютоновской системы с метрикой
= -(I -1- 2Ф) dt2 + (1 - 2ф) bjk dx>
(см. § 18.4). Предположите, что источник изменяется медленно, так что можно пренебречь временными производными Ф по сравнению с пространственными. [Ответ:
(20.29)
Jl-L = 0,
tb-L = (Ф.Ал —j 6тф,гФ,<?) • J
(Замечание: Приведенный здесь тензор 1??-ъ представляет собой «тензор напряжений ньютоновского гравитационного поля»; ср. упражнения 39.5 и 39.6.)
б. Пусть источником гравитационного поля является идеальная жидкость с тензором энергии-импульса
Tltv = (р -f р) U^Uv+Pgtiv, р/р ~ V2 = (dx/dt)2 ~f|Ф |,
и пусть ньютоновский гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению с источником
Ф,и = 4яр.
Покажите, что энергия источника равна
-V2)1'2 + t
лоренцево сокращение
P0= j (Г00 + *00) (-g) <Рх~ j [р/(1
§ 20.6. Вывод уравнений движения иа уравнения поля Ю9
+ JpV2 + у рф] {gxxgyygzz)4* dxdy dz +
"Т ~ t
кинети- потен- собственный объем ческая циаль-энергня ная энергия
+поправки более высокого порядка. (20.30)
в. Покажите, что «уравнения движения» T^Lij эфф, v = 0 сводятся к классическим уравнениям (16.3) ньютоновской гидродинамики.
§ 20.6. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ИЗ УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
Рассмотрим уравнение поля Эйнштейна
8 = 8яТ (20.31)
в условиях, когда в пространстве нет ничего, кроме свободного электромагнитного поля
= X (FvagOtTt-^gwFnFm) (20.32)
(ср. выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля, приведенное в § 5.6). Чтобы предсказать из (20.31) изменение геометрии со временем, необходимо знать, как изменяется со временем электромагнитное поле. Поле выражается в виде «внешней производной» от 4-потенциала;
F = dA (язык форм),
или
BA дАи
^IiV = = —----— (язык компонент), (20.33)
дх дх
и скорость изменения поля со временем определяется уравнением Максвелла
d*F = 0,
или
^vjv = O. (20.34)
Если полагать в духе честного разделения труда, что уравнение Максвелла должно предсказывать развитие во времени максвелловского поля, а уравнение Эйнштейна — эйнштейновского поля,
