Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Определение «поевдотенаора энергии-импульса» tuv
Определение
пЦУ.
Вспоминая, что — приближенное линеаризованное
выражение для тензора кривизны Эйнштейна (20.5), можно найти вид Г^эфф. Определим нелинейные поправки
IBnillv Sfflievpie3-26^. (20.17)
(Представление этих поправок в виде функции от gили Ziliv = = g^v — TJtiv требует прямых, но длинных вычислений. Точный вид их в этой книге не понадобится.) Тогда уравнения Эйнштейна гласят
= ItotP* + 2 Gllv = 16л ^liv + T^),
так что
р IiV
эфф :
rv+^v.
(20.18)
Величину ^v называют иногда «псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля». Из уравнений поля Эйнштейна
(20.14) в силу антисимметричности Hag по v и jj следует
Закон сохранения Uv
Д*н Тэфф
Hnavp. t M-v
UV
И їзфф - величини, вавиеящяе от выбора координат
(20.19)
Эти уравнения эквивалентны уравнениям T1Iivi v = 0, но записаны в частных, а не в ковариантных производных, что позволяет переходить от объемных интегралов к поверхностным и обратно.
Определение и существование всех величин ЯIiavP, и TIiv^ зависят от выбора координат; они не существуют независимо от координат, поскольку не являются компонентами тензора или любого другого геометрического объекта. Соответственно уравнения (20.14) — (20.19), содержащие Tiiv3фф и ^v, не имеют не зависящего от координат геометрического значения, т. е. не являются «ковариантными тензорными уравнениями». Тем не менее имеется адекватная инвариантность относительно общих преобразований координат, придающая величинам и Jwj выраженным в виде интегралов (20.15) и (20.16), геометрический, не зависящий от координат смысл в асимптотически плоской области вдали от источника. Хотя в самих объемных интегралах эту инвариантность заметить трудно, из получающихся из них поверхностных интегралов (20.9) ясно, что никакие преобразования координат, изменяющие координаты только внутри некоторой пространственной ограниченной области, не могут повлиять на значения этих интегралов.Что касается изменения координат в удаленных асимптотически плоских областях, то линеаризованная теория гарантирует, что при преобразованиях Лоренца интегралы Р» и JIiv будут преобразовываться как тензоры в специальной теории относительности и что они будут инвариантными относительно бесконечно малых преобразований координат (калибровочных преобразований).
Поскольку № не являются компонентами тензора, они могут быть равны нулю в точке в одной системе координат и быть отлич-
§ 20.3. Выражение 4-импульса и момента импульса ЮЗ
2
ными от нуля в той же точке в другой системе координат. Получающаяся неоднозначность в определении локализованной плотности энергии t00 гравитационного поля эквивалентна неоднозначностям, возникающим при формальном определении ^v. Ясно, другие что любые величины которые совпадают с первоначаль- фК0вр^ле^їіа^е,
ными в асимптотически плоской области слабого поля, tVLV r^v
будут давать те же значения для поверхностных интегралов P•» ’
и (20.9), что и Один, особенно удобный выбор был
«делан Ландау и Лифпгацем (см. § 100 в книге [2]), которые определили
ЯП0 = - HaW*, (20.20) „
где J^v = (—g)1/2g*lv. Они показали, что уравнения Эйнштейна
можно записать в виде
Httt «е = 16л (— g) (T»v + (20.21)
где компоненты псевдотензора Ландау — Лифшица точно квадратичны по первым производным метрики:
(- g) ZtL V=-щг { + -Y - 2) tf.L
- (rtnva^.p^A+Л^.рдГх) +¦ g^v%a\ v9^, р+
+4- (2S0V1 - Л^) (2gvpgot - googvJ SvxMeaV } • (20.22)
(Эйнштейн также дал псевдотензор tEvv с такими свойствами, однако он не симметричен и не приводит к интегралу для /»*v.)
Поскольку ЯЕП? имеет ту же симметрию, как и //>“VP, равен #twtvp вдали от источника (упражнение 20.4) и уравнения поля (20.21), выраженные через #2??, имеют тот же вид, как и уравнения, выраженные через //VavP, то отсюда следует, что
ТГ-ьэфф^-ЖТ^-ИГ-ь) (20.23а) а> гГ_ЬэФФ
обладает всеми свойствами 71?,, введенного в начале этого параграфа:
^'ь—ьэфф, V = 0, (20.236)
P*= j тЦща&х, (20.23а)
= j (^Ть-ьэфф - ZvTt-ьэфф<Лс. (20.23г)
20.4. Вид Hl-i? вдали от источника упражнение
Покажите, что величины. Н%iv?. входящие в уравнение (20.20), сводятся к (20.3), в области слабого поля вдали от источника.
2
104 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
Почему
невозможно
определить
локализованную
анергию-импульс
гравитационного
поля
§ 20.4. ПОЧЕМУ НЕВОЗМОЖНА ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЭНЕРГИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
Рассмотрим элемент 3-объема <22 v и вычислим вклад «гравитационного поля» этого элемента в 4-вектор энергии-импульса, используя при расчете псевдотензор W4 ИЛИ псевдотензор который
обсуждался в предыдущем параграфе. Получим
p = en^vdSv,
или
р = Bh^lLl
Правильно? Нет, постановка вопроса неверна. Обоснование ошибочно. Результат ошибочен. Идея неверна.
Имеет смысл спрашивать о количестве электромагнитной энергии-импульса в элементе 3-объема. Во-первых, для этой величины имеется одна и только одна формула. Во-вторых, что более важно, эта энергия-импульс «имеет вес». Она искривляет пространство. Она служит источником, стоящим в правой части уравнений поля Эйнштейна. Она вызывает относительное геодезическое отклонение двух соседних мировых линий, проходящих через рассматриваемую область пространства. Она наблюдаема. «Локальная гравитационная энергия-импульс не обладает ни одним из этих свойств. Для нее нет единственной формулы, а имеется множество различных формул. Две приведенные выше формулы — лишь две из бесконечности. Более того, «локальная гравитационная энергия-импульс» не весит, не искривляет пространство, не служит источником, стоящим в правой части уравнений поля Эйнштейна, не вызывает никакого относительного геодезического отклонения двух соседних мировых линий, проходящих через рассматриваемую область пространства, и не наблюдаема.
