Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы иметь возможность определить энергию и момент импульса, пространство-время должно быть асимптотически плоским. Только в этом случае можно применять линеаризованную теорию и только на основе применимости линеаризованной теории вдали от источника можно обосновать использование интегралов
(20.9)
Полная маоса-внергия, центр масс и собственный момент импульса
2
100 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
Интегральные гауссовы потоки применимы только в асимптотически плоской области пространства-времени и в координатах, асимптотически переходящих в координаты Минковско-VO
УПРАЖНЕНИЯ
(20.9) в полной нелинейной теории. Никто не может заставить физика, желающего определить энергию и момент импульса, двигаться вблизи источника. К тому же и нет необходимости так поступать. Он может привести неотразимые соображения, мешающие это сделать: внутренняя структура источника может быть недоступной, непонятной, неинтересной, опасной, слишком далекой или страшной. Требование того, чтобы пространство-время было асимптотически плоским, — не только замечательная, но и решающая особенность интегральных потоков (20.9). Даже координаты должны асимптотически переходить в координаты Минковского, иначе большинство формул этой главы не верны или требуют изменения. В частности, при вычислении 4-импулъса и момента импульса линеаризованной системы интегральные потоки (20.9) необходимо применять только в координатах, асимптотически переходящих в координаты Минковского. Если такие координаты не существуют (пространство-время не является асимптотически плоским на бесконечности), то необходимо полностью отказаться от интегральных потоков и основанных на них по определению величин: полной массы, импульса и момента импульса гравитирующего источника. Напомним в этой связи обсуждение, проведенное в § 19.4. Там указано, что понятие «полная масса-энергия» ограничено, оно полезно, только если игнорируется космология. («Ср. «световой луч» или «частица» — понятия огромного значения, однако они бессмысленны в области действия волновой оптики или волновой механики.)
Резюме: Попытки использовать формулы (20.9), не учитывая граничных условий Минковского (и, в частности, попытки просто применять их без изменения в криволинейных координатах), легко и неизбежно ведут к абсурду.
20.1. Интегральный поток для полной массы-энергии в линеаризованной теории
Покажите, что интегральный поток (20.6) P0 сводится к (20.7). Затем покажите, что в применении к случаю почти ньютоновского источника [линейный элемент (18.15в)] он сводится далее к известному ньютоновскому интегральному потоку (20.2).
20.2. Интегральный поток для момента импульса в линеаризованной теории
Выведите интегральный гауссов поток (20.8) для /Iiv.
[Указание: Используя уравнения поля (20.5), покажите, что
Iejia^rv0 = (XttHva0kta)ik — /Zvj0lii j — /Tv00lii0; (20.13)
затем примените теорему Гаусса для вычисления объемного интеграла в уравнении (20.8).]
§ 20.3. Выражение 4-импулъса и момента импульса Ю1
2
20.3. Интегральные потоки для произвольного стационарного источника
а. Используйте интегральные потоки (20.9) для вычисления Pv и Jw произвольного стационарного источника. В качестве асимптотически плоской метрики вокруг источника используйте
(19.13), опустив члены, связанные с гравитационным излучением.
б. Убедитесь, что «вспомогательные уравнения» (20.10) —
(20.12) дают правильные выражения для полной массы-энергии M и момента импульса источника S^.
§ 20.3. ВЫРАЖЕНИЕ 4-ИМПУЛЬСА И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА В ВИДЕ ОБЪЕМНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В линеаризованной теории легко превратить поверхностные интегралы для P^ и Jw в интегралы, взятые по объему источника; можно просто проделать в обратном порядке тот путь, который впервые привел к поверхностным интегралам [уравнение (20.6); упражнение 20.2]. А как можно совершить аналогичный переход от поверхностных интегралов к объемным в общей теории относительности? Если мыслить прямолинейно, ответ довольно прост. Необходимо только привести полные уравнения поля Эйнштейна к виду
=16:17?, (20.14)
аналогичному уравнениям (20.5) линеаризованной теории. Здесь avP — функция Aliv == Ifliv— Tjlivi которая должна определяться равенством (20.3) даже глубоко внутри источника, где | Aliv | может быть ^ 1. Уравнения Эйнштейна в таком виде, как и линеаризованная теория, допускают переход от гауссовых интегральных потоков к объемным интегралам
Р* = ^ § Hiia05,,ad*S,=
= Ш і = Ш J #*= J (20.15)
Аналогично,
jw = j (х»Т$ф - х'Г$ф) d3x. (20.16)
[Решающим для такого перехода является использование в уравнениях (20.14) частных производных вместо ковариантных.] В этих объемных интегралах, как и во всем предыдущем обсуждении, вдали от источника координаты должны быть асимптотически лоренцевыми (gpy —*П (a v) ¦
УПРАЖНЕНИЯ
Полные уравнения поля Эйнштейна, выраженные
череа н
Объемные интегралы для 4-импульса и момента импульса в общей теории
относительности
2
102 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
