Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(20.4)
2
Интегральные гауссовы потоки для заряда н ньютоновской массы
Эти интегральные потоки возникают потому, что заряд и масса источника оставляют неизгладимые отпечатки на окружающих их электромагнитном и гравитационном полях.
Внешнее гравитационное поле (геометрия пространства-вре-мени) в общей теории относительности несет на себе аналогичные отпечатки не только от полной массы-энергии источника M, но и от полного 4-импульса P и собственного момента импульса S (см. дополнение 19.1). Поэтому разумно искать интегральные гауссовы потоки, представляющие 4-импульс и момент импульса источника.
Для упрощения поиска выполним его вначале в линеаризованной: теории, используя аналогию с максвелловской электродинамикой. В электродинамике выражение для интегрального гауссова потока для заряда следует из уравнений Максвелла =4я/»‘ и асимметрии F»v (т. е. F0litil = FoiJ), что дает:
Q - J "is- J '•V- -k J - J /srf** ¦"»«•
t
теорема Гаусса ------------1
Чтобы найти аналогичный интегральный поток в линеаризованной теории, перепишем линеаризованные уравнения поля (18.7) в форме, содержащей объект с нужной симметрией. Таким объектом будет
Я tiavP = _ (fe<*vtj«P + T^vHap — TiavTfP -PpTiav). (20.3)
Легко убедиться отсюда, что он обладает той же симметрией, что и тензор Римана:
JJtiavfi _ jyvpIia _ ^tna][yp]
Определение HWtvfJ
Этот объект, подобно fe>*v, преобразуется как тензор при лорен-цевых преобразованиях линеаризованной теории, однако он не калибровочно инвариантен и потому не является тензором в общерелятивистском смысле.
7-01508
2
98 20. Законы сохранения 4-импульса и момента импульса
Выражение линеаризованных уравнений поля через HHOsvP
Интегральные гауссовы потокл в линеаризованной теории:
1) 4-импульс
2) момент импульса
Обобщение интегральных гауссовых потоков на полностью релятивистский случай
Линеаризованные уравнения поля (18.7) приобретают значительно более простой вид, если их выразить через HixayP:
2С“У= Я^.ар = ІблГ^. (20.5)
Отсюда в силу антисимметрии H^ayP по v и P следуют законы сохранения линеаризованной теории, которые обсуждались в § 18.3:
Tnv __ 1 ггIiotVJS _ п
.V — Igjx п ,afJv —
Ta же антисимметрия, которая приводит к этим уравнениям движения, дает интегральный гауссов поток для полного 4-импульса источника
Pv- = j J1i0 d3x = -X j Яд“ор „р d3x =
=ш І nvaoi^ d3x=ik§ d*s>- (20-6>
теорема Гаусса
if
Здесь замкнутая двумерная поверхность интегрирования ?? должна полностью окружать источник и лежать на трехмерной поверхности постоянного времени ж0. Интеграл (20.6) для энергии источника P0, который используется чаще, чем интегралы для Pi, сводится к особенно простой форме, если его выразить через
ёа.$. а 3 ~Ь (S ¦
= (20.7)
V
(см. упражнение 20.1).
Расчет, аналогичный (20.6), но более длинный (упражнение 20.2) дает интегральный поток для полного момента импульса относительно начала координат:
Jliv= j (XixTv0 - XyTli0) d3x =
= -L ф (x»Hva0i,a - XyHlxa0ita + H1xi0v - Hvi0lx) d2Sj. (20.8)
Для вычисления поверхностных интегралов (20.6) — (20.8) (в отличие от случая объемных интегралов) необходимо использовать лишь гравитационное поле вдали от источника. Поскольку это гравитационное поле имеет одинаковый вид в общей теории относительности для сильных источников и в линеаризованной теории для слабых источников, можно использовать эти поверх-
§ 20.2. Интегральные гауссовы потоки 99
2
ностные интегралы для вычисления Pix и Ztlv любого изолированного источника, слабого или сильного:
в общей теории относительности для любого изолированного источника, если замкнутая поверхность интегрирования s лежит в асимптотически
S плоской области, окружаю-
щей источник, и использованы координаты, асимптотически переходящие в координаты Минковского.
(XVHva0jta-XvHliaaj
+ Hlli0v-Hvj0ii) (PSj
Зная P Ij-H /Iiv1 можно вычислить полную массу-энергию M и собственный момент импульса источника, используя стандартную процедуру, указанную в дополнении 5.6;
M = (-Р^Р^)1/г, (20.10)
(вектор, на который смещается\ асимптотическое сферическое 1 симметричное поле «М/г» 1,(20.11)
источника относительно поля I с центром в начале координат/
Sp = 4- Etivap (Jllv - YilPv + YvP11) PaIM. (20.12)
Особо отметим, что подынтегральные выражения гауссовых потоков
(20.9) не калибровочно инвариантны. Они исчезают в любой локально инерциальной системе отсчета в точке (Ss0) =
= Ilnv- ?nv,a (Ss0) = °Ь поскольку
guv. a = V. a = 0 — Н*™\а = 0, = Tlplv — H^ = 0.
Такое поведение выглядит разумным, поскольку их ньютоновский аналог — подынтегральное выражение Oj = (гравитационное ускорение) ньютоновского интеграла (20.2) — также исчезает в локально инерциальной системе отсчета.
Хотя подынтегральные выражения в интегралах не калибровочно инвариантны, полные интегралы (4-импульс) и (момент импульса), несомненно, калибровочно инвариантны! Они имеют смысл и значение независимо от какой-либо системы координат и калибровки. Это тензоры в асимптотически плоской области, окружающей источник.
