Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3. Выпишите общее решение не зависящего от времени волнового уравнения (1Й.86) в вакууме в виде, содержащем п’ == з?!г =
(единичный вектор в радиальном направлении):
¦г A0 . Bini , п / 1 \
+-гг + 0(тг).
7- Ai . ві*п* . п/ і \
X Aib ffktnt I t
АЛ—г H—-+0(-^
Aih = Aiiky, Bih* = &***.
(19.17)
«Аяпятпес»
покоящаяся система отсчета» к «полный 4-нм-пульс»
Законы
оохранения
полого
4-икпульса
и момента
импульса
УПРАЖНЕНИЕ
(Круглые скобки означают симметриванию.)
I
-УПРАЖНЕНИЕ
90 19- Масса и момент импулъеа гравитйрующій системы
4 Наложите затей на это общее решение лоренцевы калибровочные условия Aa^1 р = 0, в результате получите
Ai = O, Aik = O,
В’к(&’к~Ъп?пк)=0, (19.18)
Bik* (&к е — Зпкп *) = 0.
5. Запищите тензор Blk в виде суммы его следа 35, симметричной части Sik и антисимметричной части («неприводимые части»), для каждойДиз которых след равен нулю
Bik = BSik+ Sik+ Sik* Fe, Sii = O. (19.19)
Покажите, что к такому виду можно привести любой тензор Bik. Покажите далее, что калибровочные условия (19.18) означают Sjk = 0.
6. Аналогично, покажите, что любой тензор Bih симметричный по первым двум индексам, можно привести к виду
ВM = SikAe + CwSftl е + гт*аЕк)т + Sih ел Ekm — симметричная часть со следом, равным нулю, т. е.
Ehm =-- Eihm\ Ehk = 0, (19.20)
Sik? — симметричная часть со следом, равным нулю, т.е.|
Sik^ = S^ik
Su* ^Sjkk = Siki = 0.
Покажите затем, что калибровочные условия (19.18) означают Ci=-2A1 и Ekm = Sik* = 0.
7. Комбинируя эти результаты, получите
X A0 І ВІПІ ,п(1 \
-J- Bik^nhFe , Bni I п / 1 \ /4 0 94\
hOI =---—" + -JT + 0(тг), (19.21)
т" SікА'пЄ—Aink—A^ni , л / 1 \
hJh =--------Ti--------+0("ЙГ)’
Используйте далее* калибровочные преобразования в ранках лоренцевой калибровки для исключения В и Ai из h0j и h]k; таким образом, найдите
^_А.+Й±^+0(^),
^+O(Jr), (19.22)
Sn = O (-k)-
§ 19.3. Масса и момент импульса релятивистских источников 91
1
8. «Перенесите начало координат так, чтобы х\юв = Xjctpp — упражнения
— (Bj + Aj)/A0; в новой системе координат ha р имеет тот же
вид (19.22), но отсутствует Bi + Ai. Из получающихся Aap постройте метрику и в соответствии с уравнением (19.13) переопределите постоянные A0 и Fe-.
9. Все линейные члены в метрике теперь объяснены. Главные нелинейные члены должны быть пропорциональны квадрату (М/г)ъ главного линейного члена. Простейший путь найти постоянную пропорциональности —это взять шварцшильдовскую геометрию для полностью релятивистского статического сферического источника [уравнение (31.1)], приведенную с помощью преобразования координат к виду
dgZ= (dx2+dyS+dzZ)'(19i23) и разложить ее по степеням Mtr (уравнение 25.8).
Дополнение 19.1. ПОЛНЫЕ МАССА-ЭНЕРГИЯ, 4-ИМПУЛЬС И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
А. Пространство-время разделено на 1) внутреннюю область источника, которая окружена 2) вакуумной областью сильного поля, которая в свою очередь окружена 3) асимптотически плоской ближней’зоной слабого поля, которая в свою очередь окружена 4) асимптотически плоской волновой зоной слабого поля. В этом дополнении и в этой главе рассматриваются только асимптотически плоские области. Внутренняя область и область сильного пОля рассматриваются в следующей главе.
X
Асимптотически покоящаяся система отсчета.
Б. Асимптотически покоящейся системой отсчета источника является та глобально йоренцева система отсчета (с координатами t, х, у, z), в которой покоится удаленная
I
92 19- Масса и момент импульса гравитирующей системы
«кулоновская» часть поля источника (см. диаграмму). Асимптотически покоящаяся система отсчета не продолжается в область сильного поля, при любом таком продолжении она под влиянием кривизны будет трансформироваться в сильно нело-ренцеву систему криволинейной формы. Начало асимптотически покоящейся системы отсчета выбрано в центре источника, т. е. вдали ньютоновский потенциал имеет вид Ф = —М/(х2 + у2 + Z2Ylz + О (1 Ir3) и дипольный член D -хіт3 при таком выборе начала координат отсутствует.
В. Источнику можно приписать полную массу-энергию Af, 4-скорость U1 полный 4-импульс P и вектор собственного момента импульса S. 4-векторы U, Р, S могут существовать н свободно перемещаться в асимптотически плоской области пространства-времени (при пренебрежимо малой кривизне параллельный перенос по замкнутым кривым не изменяет U1 P и S). 4-скорость U определяется как 4-скорость асимптотически покоящейся системы отсчета (t/e — I, Lr = Ob покоящейся системе отсчета). Полная масса-энергия изменяется с помощью третьего закона Кеплера («1—2—3») [см. уравнение (19.8)]. Полный 4-импульс определяется как P -и MU. Собственный момент импульса S ортогонален 4-скорости Ur т. е. S-U=O (поэтому S0 = 0; 8 Ф 0 в общем случае в асимптотически покоящейся системе отсчета); 8 измеряется с помощью гироскопической прецессии или дифференциальной прецессии перигелия (§ 19.2).
В асимптотически покоящейся системе отсчета при соответствующем выборе калибровки (т. е. ряби координат) малые отклонения от, геометрии плоского пространства-времени описываются линейным элементом
