Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Момент импульса источника измерить не так просто. Необходимо использовать зонд, не чувствительный к ньютоновским гравитационным эффектам, но «чувствующий» недиагональный член
gaj=—MkeShVfJr* (19.9)
в метрике (19.5). Одним из таких зондов служит прецессия перигелия для спутника, вращающегося по часовой стрелке, относительно прецессии для спутника, вращающегося против часовой стрелки. Другим таким зондом является гвросков. Пусть гироскоп, удерживаемый от падения силой, приложенной к его центру масс, покоится в источнике гравитационного поля. С течением времени член gBJ в метрике будет воздействовать на гироскоп, заставляя его прецессировать относительно базисных векторов Ыдз?\ поскольку эти базисные векторы «связаны» с системой координат, которая в свою очередь связана с лоренцевой системой на бесконечности, а последняя связана с «неподвижными звездами» (ср. § 39.12), то это будет прецессия относительно «неподвижных эвеад*. Угловая скорость прецессии, как это получено в упражнении 19.2, равна
« = + (19.10)
Иногда говорят, что вращение источника «увлекает иверциальиую систему й&явди источник»*, аартааляя таким образом прецессировать гироскоп. Дальнейшее обсуждение см. в § 21.12,40.7*33.4.
В случае слабо гравнтирующей системы:
1) полную массу M конто домерить, применяя «кеплеровсквй мхон 1—2—8» к движущимся по оровтам частица»
2) полный момент импульса 8 МОЖНО HSxepvibr аналивируя прецессию ГИрОШОВО!
I
86 19. Масса и момент импульса гравитирующей системы.
УПРАЖНЕНИЕ
19.2. Прецессия гироскопа
Выведите уравнение (19.10) для угловой скорости прецессии гироскопа. [Указания: Определите ортонормальную тетраду в центре масс гироскопа. Свяжите тетраду жестко с системой координат и, следовательно, с «неподвижными звездами»; более определенно, выберите тетраду так, чтобы она была базисом {е~}, дуальным следующему базису из 1-форм:
со? .= [1 -(2М/г)11/г dt+-2zjii(Sh (х 'Ir*) dx?,
(19.11)
со' = [1 + (2 M/r)]Vtdx}.
Пространственные оси тетрады е j вращаются относительно гироскопа с угловоїй скоростью ю [см. уравнение (13.69)]:
_е?па)? = Г7Го.
Следовательно, вектор момента импульса гироскопа Lпрецессирует относительно тетрады с угловой скоростью Q = — о:
«,fttf-rjfs. (19.12)
Вычислите Г для данной ортонормальной системы и получите 'гем^самым уравнение (19.10) для Я.]
§ 19.3. МАССА И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ПОЛНОСТЬЮ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ИСТОЧНИКОВ
Откажемся теперь of условия слабости гравитирующих источников. Рассмотрим изолированную гравитирующую систему, пространство-время внутри которой может быть как угодно сильно искривлено или искривлено слабо. Это может быть черная дыра, нейтронная звезда или Солнце... Однако мы не будем сейчас анализировать внутреннюю область системы или «область сильного поля» вблизи системы, & ограничимся рассмотрением слабого поля вдали от источника, применяя для этой цели линеаризованную теорию в вакууме. Разложим Aliv по мультипольным моментам и степеням 1/г и подберем калибровку, лоренцеву систему отсчета и начало координат таким образом, чтобы упростить получающуюся метрику. В результате такого расчета получим гравитационное поле, совпадающее с.полем слабого источника {уравнение (19.5)]! (Детали расчета в силу их громоздкости здесь не приводятся, CM. упражнение 19.3.)
§ 19.3. Масса и момент импульса релятивистских источников 87
Ho прежде, чем считать его полем вдали от произвольного источника, необходимо рассмотреть нелинейные эффекты в уравнениях поля в вакууме. Вдали от источника оказываются важными два типа нелинейности: -
1. Нелинейности в статической, ньютоновской, части метрики, порождающие поправки
Sg00 = - ЖЧг\ Sgjk = -§- (Л/*/г’) 6/ft
(см. упражнение 19.3 и § 39.8), приводящие тем самым к метрике вида
, /члены, связанные с гравитационным\ "I , * , h .. .,. T V излучением, затухающие как О (1/г) / J ’ Viy-lcjJ
2. Постепенное уменьшение массы источника, постепенное изменение его момента импульса и постепенное изменение «покоящейся системы отсчета» для компенсации массы, момента импульеа и линейного импульса, уносимых гравитационными волнами (см. дополнение 19.1, которое лучше всего прочесть после окончания этого параграфа).
Измеряя удаленную пространственно-временную геометрию
(19.13) данного источника, нельзя установить, сильном-или слабым собственным полем тяготения обладает источник. Ho если выразить постоянные M и Sj, которые определяют g00 и g0}, в виде интегралов, взятых по внутренней области источника, то обнаруживается решающее различие: если внутреннее поле тяготения слабо, то линеаризованная теория справедлива во всем пространстве и
TfSod3X, ?,= Jejft^Tnd3x, (19.14)
но если поле тяготения, сильное, то эти формулы уже не годятся. He помешает ЛИ это отощдествлению ДОСТОЯННЫХ MnSjB метрике
(19.13) для случая сильного тяготения с массой и моментом импульса источника? Отнюдь нет, согласно следующему аргументу.
Рассмотрим массу Солнца. Ньютоновская теория справедлива здесь с высокой точностью (относительна? ошибка ~Mq/Hq ~ 10“'), поэтому можно утверждать, что постоянная М, появляющаяся в линейном элементе (19.-13), действительно определяется выражением
