Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
6-01508
ї
Метрика вдали от слабо гравити-РУЮЩЄЙ ОИСТемЫ,
представленная в виде ряда по степенях 1/г:
1) вывод
19. МАССА И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГРАВИТИРУЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
§ 19.1. ВНЕШНЕЕ ПОЛЕ СЛАБО ГРАВИТИРУЮЩЕГО ИСТОЧНИКА
Рассмотрим изолированную систему с таким слабым полем тяготения, что при расчете структуры системы и движения можно полностью пренебречь самогравитацией. (Это справедливо для астероида или туманности с электронами и протонами высокой энергии, движущимися по спирали в магнитном поле, но не справедливо для Земли или Солнца.) He будем ничего больше предполагать
о системе: например, в отличие от случая ньютоновской теории скорости могут быть произвольно близкими к скорости света, а натяжения T3h и плотности импульса Toi — сравнимыми с плотностью массы-энергии T00.
Вычислим слабое гравитационное поле, создаваемое такой системой [см. вариант уравнения (18.14) с чертой]:
Ограничимся рассмотрением пространственно-временной области, удаленной от системы, и разложим Aliv по степеням х'/г = х'/\ х |, используя соотношения
?f|iv ------ Ilnv "Ь
(19.1)
(19.2)
OO
71=0
X (г-I SC-SC'Dn1
(19.3а)
§ 19.1. Внешнее поле слабо гравитирующего источника 83
= +.... (19.36)
I 1 х) 3?' , I Х>Хк (Зг’ X* — г 2Sjfe) J (19 Зв)
I
I ж—ас' I г ~ г2 г ~ 2 гЗ г2
Проведем вычисления в системе отсчета, покоящейся относительно данной системы, для которой
Pi = j Tojd3х = 0, (19.4а)
а начало координат находится в центре масс
j xjT00d3x = 0. (19.46)
В результате после изменения калибровки с целью упрощения Ко и hoj получим
ds* = — |Ч — - + О (Др j J dt2 — |^4e^fe eSk Aj- + 2) реаультат
+ ^ ( Ti") ] Mdxi + [ (I + ) bjh +
/члены, связанные с гравитационным \ i ,,, h . т" \излучением, изменяющиеся как О(1/г))J х (1У.о)
(вывод см. в упражнении 19.1). Здесь M и Sk-масса и собственный момент импульса тела:
M= j Tmd3x, (19.6а)
J V*Tm°d3z. (19.66)
Соответствующий ньютоновский потенциал равен
Ф= —-g- (goo — tIoo) =—-jr + O (7г) • (19.6в)
Вывод: При соответствующем выборе калибровки Ф и g00 вдали Как зависит
от любого слабого источника не зависят от времени и однозначно метрика о»
„ массы M
определяются массой источника М; компонента goj не зависит от и моиеита
времени И определяется собственным моментом импульса ИСТОЧ- “систем»
ника Si, а компоненты gjh обладают зависящими от времени членами (гравитационные волны!) порядка О (1 Ir).
В оставшейся части главы мы сконцентрируем внимание на «отпечатках» массы и момента импульса в гравитационном поле и вплоть до гл. 35 почти не будем касаться гравитационных волн.
6*
I
84 19. M лее а и момент импульса гравитирующей системы
.УПРАЖНЕНИЕ
19.1. Вывод метрики вдали от слабо гравитирующего тела
а. Выведите формулу (19.5). [Указания: 1. Следуйте описанной в тексте процедуре. 2. При вычислении A00 выпишите в явной виде с точностью О (1 /г2) члены первого (п = 1) и нулевого (п = 0) порядков и упростите член и = 0с помощью тождеств
Tjh = I (J0Vzh)i0о + (T -V + T ' V), е — і (Т 'mZiXh) ,т, (19.7а)
о +(Г'VVn-іТЄтг*) . (19.76)
(Убедитесь, что эти тождества следуют из Ta^iP = 0.) 3. При вычислении h0m выпишите в явном виде член в (19.2) си = 0 с точностью О (Vri) и упростите его, используя тождество
TokXi+ TojXh = (T00XiXh)iQ + (T^gXiXk)t(19.7в)
(Проверьте, что оно следует из TaPj р = 0.) 4. Упростите H00 и h0m с помощью калибровочного преобразования, генерируемого
I=WW I
+ TF J [тш'хк'ху-^ rwV*) d3x' +
Г Г гіг?' (31і Xh' — r'Z&jk) хіхк -1
+ J (?V+ Г,,--------------------------]dX +
. 1 дп 1 Г ,у, ' і ті <\ (r I* I)" J3_'
+ 2і 1ії~дГ^ ) V 00 +1^) j х — я>' І “ Х'
п=2
Sm - —( rooVV'dV +
OO
, v 1 0»-1 Г „ .{r-|*-®'Dnrfv І
+ 4 1 ТГ J І0™ \х-х'\ dX +
?г=і
+тї'-}(т),!г»™і'-№) ,J
п—2
Здесь Tliv' обозначает Tliv (t — r, as').]
б. Докажите, что масса и момент импульса системы сохраняются. [Замечание: Поскольку TlaPtP = 0 (самогравитацией пренебрегаем), то доказательство здесь такое же, как и в плоском пространстве-времени (гл. 5).]
§ 19.2. Намерение массы и момента импульса 85
I
§ 19.2. ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Величины массы и момента импульса системы можно измерить, аналивируя тот отпечаток, который они оставляют в своем внешнем гравитационном поле. Простейшим орудием исследования является пробная частица на гравитационно связанной орбите. Если частица находится достаточно далеко от источника, то на ее движение почти совсем не влияют момент импульса источника или гравитационные волны, существенное влияние оказывает только сферическая ньютоновская часть гравитационного поля. В результате частица двйжется по эллиптической кеплеров-скоя орбите и для определения массы источника M достаточно применить лишь третий закон Кеплера (который, может быть, лучше назвать «кеплеровским законом 1—2—3»)
M = (—з-------X (большая полуось эллипса)3, т. е.
V орбитальный вврвоя / ' J '
M1 = <в*а8. (19.8)
