Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
? = +-?" tJlXx-Ku) s^n2 9 cos jT^hxv sin20sin 2</>J ,
J) Этот мысленный эксперимент был придуман Бонди [86—88] как способ убедить скептиков в реальности гравитационных волн.
§ 18.4. Почти ньютоновские гравитационные поля 79
I
где kjh вычисляются вдоль мировой линии стержня (х — у = = г = 0). Заметим, что если стержень ориентирован по направлению распространения волны (если 6 = 0), то бусинки не будут двигаться. В этом смысле влияние волн (геодезическое отклонение) чисто поперечное. Дальнейшее обсуждение см. в § 35.4—
35.6.]
§ 18.4. ПОЧТИ НЬЮТОНОВСКИЕ ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ
Общее решение линеаризованных уравнений поля в лоренцевой калибровке [уравнения (18.8а) и (18.86)] выражается в виде запаздывающего интеграла, хорошо известного из теории электромагнитного поля
Гравитационно-волновые аспекты этого решения будут изучены в гл. 36. Здесь же мы сконцентрируем внимание на почти ньютоновском источнике: T00 | Toj |, I Tjk | и скорости доста-
точно малы, так что запаздыванием можно пренебречь *). В этом случае (18.14) сводится к
^oo= — 4Ф, Ti0J = Jijk = 0, (18.15а)
у»^d3x' = ньютоновский потенциал. (18.156)
I ос—Я? I
Соответствующая метрика (18.8в) равна
ds1= — (1 + 2Ф) dt2 + (1 — 2Ф) (dx2 + dyz + dz2)
(I—2MIr) dt2 + (1 + 2MIr) (dx2 + dy2 + dz2) вдали от источника.
(18.15в)
Эта метрика не учитывает: 1) нелинейные поправки порядка Ф2, которые вне компетенции линеаризованной теории, 2) поправки, возникающие из-за того, что положено hoj = 0 (они порядка hoj ~ ~ Фу, где v~ I T0J УT00 — характерная скорость в источнике), 3) поправки из-за того, что положено hjk = 0 [которые порядка hjk ~ Ф (| Tjk |/Г0о)]- В Солнечной системе, где Ф~ 10-в, все эти ошибки порядка IO-12.
Пассивное соответствие ньютоновской теории требует только, чтобы gw = —(1 + 2Ф) [см. уравнение (17.19)]. Однако линеари-
х) Более точно следует сказать, что мы находимся достаточно близко к источнику, поэтому запаздыванием можно пренебречь (в так называемой «неволновой зоне», г < ct, где t — характерное время изменения параметров источника). — Прим. ред.
Ф (t, ас) = — \
УПРАЖНЕНИЯ
Решение
линеаризованного' уравнения ПОЛЯ в виде запаздывающего интеграла
Ньютоновская теория тяготения-как предел линеаризованной теории
]
80 18' Слабне гравитационные поля
Отклонение евета м гравитационное жравное смеще-
ние*
предсказываемые линеариво ванной -теорией
УПРАЖНЕНИЯ
зованная теория определяет все метрические коэффициенты с ошибками порядка ~ Фу, ~Ф2 и Ф (| Т]к |/Z1Oo)- Такой точности достаточно для правильного предсказания (относительная ошибка ~10~6) отклонения света и гравитационного красного смещения в Солнечной системе, но не смещений перигелия.
18.6. Отклонение света Солнцем
Солнце с высокой точностью является статичным и сферичным, а его внешнее поле описывается метрикой (18.15в) с Ф = —М/г, т. е.
ds* = —(1 — 2MIr) dt* -f (I -f- 2MIr) (dx1 + dy2 + dz2) везде
вне Солнца. (18.16)
Фотон, движущийся в экваториальной плоскости (г = 0) этого искривленного пространства-времени, испытывает очень слабое отклонение от мировой линии
X = t, у = Ъ = «прицельный параметр», Z = 0. (18.17)
Вычислите величину отклонения следующим образом.
а. Запишите уравнение геодезических (16.4а) для мировой линии фотона
-§? + rWV = 0. (18.18)
Здесь р = dldh* = (4-импульс фотона)=(касательный вектор к нулевой геодезической фотона.]
б. Вычислив в экваториальной плоскости коэффициенты связности и используя приближенные значения I ру |<С рй та рх компонент 4-импульса, соответствующих приближенной мировой линии (18.17), покажите, что
dpy _____—2МЪ_ х _dx_ , = о Г і , о ( ] =
dk* (г2 + Ь2)3/г d\* • ” \ Ь ) J
= const [і+*? (IT)]¦
в. Проинтегрируйте это уравнение для pv, предполагая, что Pv = 0 при х = —с» (фотон вначале движется точно в направлении оси х), и получите
Mt і \ 4М -Ij ры(а:= +оо)=--------— рг .
г. Покажите, что это соответствует отклонению света на угол
Аф = Ш1Ъ = 1\75 (ReIb), (18.19)
где Rq — радиус Солнца. О сравнении этого предсказания с экспериментом см. в дополнении 40.1.
§ 18.4. Почти ньютоновские гравитационные поля 81
I
18.7. Гравитационное красное смещение
а. Используя уравнение геодезических для фотона, записанное в виде
dpJdX* — Г“йЄ papt г= О,
докажите, что для любого фотона, свободно движущегося в гравитационном поле Солнца [метрика (18.16)1, dpJdX* = 0, т. е.
P0 = постоянная вдоль мировой линии фотона. (18.20)
б. Атом, находящийся в покое на поверхностн Солнца, в связанной с ним ортонормальной системе отсчета испускает фотон с длиной волны Xe.
[Замечание:
Jive = hlXe = (меры атомной энергии) = — рие, (18.21)
где р — 4-импульс фотона и Ue — 4-скорость излучателя.] Атом, покоящийся вдали от Солнца, поглощает этот фотон на длине волны Xr. [Замечание: hiXr = — p-ur.] Покажите, что длина волны фотона смещена в красную сторону на величину
taAcV.= ^= 2 • 10-«. (18.22)
-wQ
[Указание: ur = d/dt; ие = (I — 2Mlr)li*dldt. Почему?] Для дальнейшего обсуждения гравитационного красного смещения н экспериментальных результатов см. § 7.4 и 38.5, а также фиг. 38.1 и 38.2.
