Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
В линеаризованной теории уравнения (46) обычно рассматриваются как калибровочные преобразования, аналогичные калибровочным преобразованиям электромагнитной теории:
C = ^iapT?,.- (5а)
Неизменность функциональных форм скаляров, векторов и тензоров (т. е. наблюдаемых) при калибровочных преобразованиях называется «калибровочной инвариантностью». Калибровочная инвариантность как электромагнитного поля
EiHOB _ л нов лнов _ л стар і уг лСтар у/- _ рстар /ггг\
* JlV - V1 M- ЛЦ, V — ^1Vi р, ~т~ Т , VJA V Т I IAV - * JlV ? Kuyj/
так и тензора Римана (упражнение 18.1)
dhob рстар
-«uvap = -WjivaP Iй)
демонстрируется прямым расчетом. Калибровочная инвариантность тензора Римана уже была обеспечена тем, что RiivaV являются компонентами тензора, а потому по существу одинаковы, вычислены ли они в ортонормальной системе отсчета =lHnv в старых координатах, где ^liv = Tj^v+ A=TvaP, или в новых координатах, где g,iV = Tlnv + A™B.
Как и тензор Римана, тензор Эйнштейна и тензор энергии-импульса не изменяются при калибровочных преобразованиях. Следовательно, если известно частное решение Ajtv линеаризованных уравнений поля (2) с данным Jliv, то можно путем изменения калибровки (4) с четырьмя произвольными малыми функциями получить другое решение, которое описывает точно ту же физическую ситуацию.
В. Лоренцева калибровка
Можпо показать (упражнение 18.2), что для любой физической системы можно выбрать калибровку (т. е. координаты) таким образом, что Aliai а = 0. Это и есть калибровка Лоренца, введенная в § 18.1. Лоренцева калибровка определяется неоднозначно. Калибровочное условие Aliai а = 0 не изменяется при любом калибровочном преобразовании с
^e-pP = O.
.{Cm. упражнение 18.2.)
§ 18.3. Влияние тяготения на материю 75
I
Г. Криволинейные системы координат
Если калибровка для данной системы (например, Солнечной системы) зафиксирована, то Ativ и Ativ можно рассматривать как компоненты тензоров в плоском пространстве-времени, а уравнения поля (2) и выбранные калибровочные условия считать геометрическими уравнениями в плоском пространстве-времени, не зависящими от координат. Такая точка зрения позволяет при желании использовать криволинейные координаты (например, сферические координаты с началом на Солнце). Ho при этом необходимо везде заменить лоренцевы компоненты метрики Tjtiv метрическими компонентами gVvnnQCK плоской пространственно-временной системы координат, а все обычные производные («запятые») в уравнениях поля и калибровочных условиях — на ковариантные производные с коэффициентами связности, построенными из g|ivniI0CK- В качестве примера см. упражнение 18.3.
§ 18.2. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
Калибровочные условия и уравнения поля (18.8а) и (18.86) линеаризованной теории имеют тесное сходство с уравнениями электромагнитной теории в плоском пространстве-времени в лоренцевой калибровке
4е,. = O1 (18.10а)
—А» “ = 4it./A (18.106)
Они отличаются только дополнительным индексом А11 вместо Jiilv и Jv- вместо Tilv. Имея, следовательно, опыт работы с электромагнитной теорией, можно многое сказать и о линеаризованной теории тяготения.
Например, уравнения поля (18.86) должны обладать решениями в форме плоских волн. Аналогом плоской электромагнитной волны
Ax = Ax (t — *), Ay = Ay (t - *), Az = 0, A0 = 0
будет плоская гравитационная волна
Kxx = HxxIt-Z), hxu=Jixy{t-z), Wju =Iiuu [t — z), (18.11)
Ati0 = Aliz = 0 для всех [і.
Хотя подробное изучение этих волн мы отложим до гл. 35—37» некоторые свойства их будут исследованы в конце следующего параграфа.
Сравнение линеаризованной теории тяготения с теорией электромагнитного поля
Плоские
гравитационные
волны
§ 18.3. ВЛИЯНИЕ ТЯГОТЕНИЯ НА МАТЕРИЮ
Влияние слабых полей тяготения на материю МОЖНО рассчитать, Анализ влияния используя линеаризованную метрику (18.1) и символы Кристоф- ™готвния°ля ел я (18.2) в соответствующих уравнениях движения, т. е. в урав- на материю
I
76 IS. Слабые гравитационные поля
Сохранение 4-нипульса и жожента нмпу*ъса в хинеарпован-ной теорнн
нениях геодезических (для движения частиц или световых лучей), в гидродинамических уравнениях (для жидкости), в уравнениях Максвелла (для электромагнитных волн) или в уравнении V-T = O для полного тензора энергии-импульса любых полей и любого вещества. Примеры, аналогичные расчетам в ньютоновском пределе, проведенным в упражнениях 16.1, 16.4 и в § 17.4, даны в упражнениях 18.5—18.7. Однако если (линеаризованные) гравитационные «силы» (члены, связанные с символами Кристоффеля) в наи-низшем порядке оказывают существенное влияние на движение источников гравитационного поля, то линеаризованного уравнения поля (18.7) уже не достаточно и необходимо рассматривать лучшие приближения к уравнениям Эйнштейна. [Так, излучение гравитационных волн механически или электрически раскачиваемым осциллятором можно описать в рамках линеаризованной теории, однако излучение двойной звездной системой или колебаниями звезды под действием гравитационных сил требует для своего описания учета нелинейных членов (гравитационных «напряжений») в уравнениях Эйнштейна, см. § 36.9—36.11.]
