Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Вышеприведенные заключения следуют из рассмотрения законов сохранения, связанных с линеаризованными уравнениями поля. Так же как электромагнитные уравнения (18.10а) и (18.106) обеспечивают сохранение заряда
уравнения тяготения (18.8а) и (18.86) обеспечивают сохранение полного 4-импульса и момента импульса любого тела, граничащего с вакуумом:
(Об основных свойствах момента импульса в специальной теории относительности см. § 5.11. Момент импульса здесь вычислен относительно начала системы координат.) Важно теперь, что компоненты тензора энергии-импульса Tlfiv, появляющиеся в линеаризованных уравнениях поля (18.7) и в этих законах сохранения, совпадают с компонентами этого тензора, вычисленными в специальной теории относительности (с = tIuv)- В результате тяготение не влияет на сформулированный здесь закон сохранения энергии-импульса! Откуда видно, что в линеаризованной теории предполагается, что силы тяготения не совершают значит
все пространство
(18.12а)
(18.126)
тело
0,
j (ZaJpo-ZpTl0t0) dx dydz = J“p = const.
(18.13a)
(18.136)
TPJIO
§ 18.3. Влияние тяготения на материю 77
I
-тельной работы. Например, в линеаризованной теории пренебрегают потерями энергии, вызванными затуханием гравитационного излучения. Аналогично, сохранение 4-импульса каждого тела, действующего как источник ApiVi означает, что каждое тело движется ПО геодезической Illiv (прямые линии в почти лоренцевой ¦системе координат), а не по геодезической ^liv = Tiliv + Allv. Поэтому линеаризованную теорию можно использовать для расчета движения пробных частиц и полей с gllv = Tjliv + Aliv, но чтобы учесть гравитационное влияние на движение самих источников и заставить их удовлетворять уравнению T1Iiv; v = 0, а не уравнению IV = 0, необходимо ввести в уравнения поля нелинейные члены, не учитываемые линеаризованной теорией. (О законах ¦сохранения см., например, гл. 20; о генерации гравитационных волн и реакции излучения см. § 36.9—36.11; о постньютоновском приближении см. гл. 39.)
Энергию, импульс и момент импульса, уносимые гравитационными волнами, в линеаризованной теории по аналогии с теорией электромагнитных волн (Фирц и Паули [78]) можно вычислить методами специальной теории относительности, однако сильнее и поучительнее использовать полностью гравитационный подход {гл. 35 и 36).
18.4. Кривизна пространства-времени для плоской гравитационной волны
Вычислите компоненты тензора римановой кривизны [равенство
(18.9)] для плоской гравитационной волны (18.11). [Ответ-.
RxOxO ~ RyOyQ — RxOxz — RyOyz = Rxzxг — Rytyz =
= ^Q1XX hyy),tt\
RxOyO = RxOyz — Rxzyz ~ RxzyO = 2^ХУ'
остальные ненулевые компоненты получаются отсюда с помощью симметрий Ra pv6 = -й[а(5] [Vfi] =
18.5. Простой детектор гравитационных волн (фиг. 18.1)
Две бусинки почти свободно скользят по гладкому стержню, их скольжению препятствует лишь слабое трение. Стержень свободно падает в пространстве-времени так, что центр масс его движется по геодезической, а концы прикреплены к гироскопам и поэтому не вращаются. Бусинки расположены эквидистантно (на расстоя-
нии Y ?) от центра стержня. Плоские гравитационные волны
[уравнение (18.11) и упражнение 18.4], падающие на стержень,
Предел оправед-зшвоотн линеари-зованной теории: тяготение яе должно существенно воздейст во вать на движение источников
УПРАЖНЕНИЯ
78 18- Слабые гравитационные поля
ФИГ. 18.1.
Простевший детектор гравитационных волн, состоящий из палки с бусинками и гироскопами на концах [86]. Обсуждение см. в упражнении 18.5.
толкают бусинки взад и вперед («геодезическое отклонение», «приливные гравитационные силы»). Возникающее в результате трение бусинок о стержень нагревает его, и путем измерения увеличения температуры стержня детектируется прохождение волн*). (Конечно это не лучший из всех мыслимых приборов!) Пренебрегая влиянием трения на движение бусинок, вычислите собственное расстояние между ними как функцию времени. [Указание: Пусть I — интервал между бусинками и п = %/| 1 | — единичный вектор, направленный вдоль стержня в системе покоя стержня. Тогда искомое расстояние равно ? = |-п- Тот факт, что стержень не вращается, включен в закон параллельного переноса п, т. е. Vun = 0. («Перенос Ферми — Уолкера» описанный в § 6.5, 6.6 и 13.6, сводится к параллельному переносу, так как стержень движется по геодезической са = VuU = 0.) Таким образом,
dttdx = Vu (1-п) = (VuI) -п,
dHtdx* = VuVu (1-п) = (VuVul) ¦ п,
где т — собственное время стержня. Ho VuVuI порождается римановой кривизной волны (геодезическое отклонение):
VuVul = проекция п на [ — R (.. ., u, 1, и)].
(Силы геодезического отклонения, перпендикулярные стержню, т. е. перпендикулярные п, уравновешены реакцией стержня на бусинки, препятствующей им пройти сквозь стержень: вещество не проникает сквозь вещество!) Поэтому
d2//d-t2 = — R(----u, I, u)-n= —R(n, и, I, u).
Вычислите это ускорение в локально лоренцевой системе отсчета стержня. Ориентируйте оси координат так, чтобы волна распространялась в направлении z, а направление стержня имело компоненты 1Ъг = COS 0, пх = sin 0 COS ф, nv = sin 0 sin ф. Решите получающееся уравнение для S (т)]. [Ответ:
