Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Сконцентрируем здесь внимание на выводе линеаризованной теории из общей теории относительности. Возьмем метрические коэффициенты в форме (18.1). Получающиеся отсюда коэффициенты связности [уравнение (8.246)], линеаризованные по возмущению метрики Aliv, имеют вид
Г аР = "2" (Aav, P “І” Apv, а Аар, v)
=4 (АсЛр + Apliia-A0P-^). (18.2)
Во втором равенстве использовано условие, обычно вводимое при разложении по степеням Auv: индексы Afiv поднимаются и опускаются с помощью T^v и Tiliv, а не gи gliV. Аналогичная линеаризация тензора Риччи [уравнение (8.47)] дает
D ____ Т® р® __
-flHV—1 Jiv, а ““ I n.cr*v —
= Y (A1Xa1Va + Av“llla - Aliv, а“ - Alliv), (18.3)
где
Ti = Aaa = T1afjAaP. (18.4)
Выполняя свертку R == g^vR^v да т)v, находим уравнения поля Эйнштейна 26,^ = IGnT1liv, которые можно записать в виде
Alia. va + Ava, ц0 — Aliv, а“ —¦ Ailiv—Iqliv (Аар*“р — А,рР) = ІблГ^. (18.5)
3) как осно ван ве для «вывода» общей теории относительности
Детали
линеаризованной
теории:
1) коэффициенты связности
г) Лекционные записи были подготовлены Мориниго и Вагнером.
I
3) линеаризованные уравнения поля
70 Слабые гравитационные поля
Число членов при переходе от Rii4, выражение (18.3), к Gti4 = V^, уравнение (18.5), возросло, но эту неприятность
1
2) «гравитационные потенциалы»
2
можно устранить, вводя
^[LV = - ~п~ lHn
(18.6)
4) калибровочные условия
5) уравнения поля и метрика в лоренцевой калибровке
и используя далее черту для обозначения соответствующей операции с любым другим симметричным тензором. Поэтому в первом
порядке по Zitiv имеем Gliv = Rji4 и Ativ = Zitiv, т. е. Zitiv = Zitiv —
— у В этих обозначениях линеаризованные уравнения поля
принимают вид
-Ks. .“-%vfc.3.eP+V.v + fcv»e^= IGnrtiv. (18.7)
Первый член этих линеаризованных уравнений представляет собой обычный даламбертиан в плоском пространстве-времени, а остальные члены служат только для сохранения «калибровочной инвариантности» уравнений (см. дополнение 18.2). В дополнении 18.2 показано, что, не теряя общности, можно наложить «калибровочные условия»
Piete = O. (18.8а)
Эти калибровочные условия являются тензорным аналогом лоренцевой калибровки Aa,а = 0 электромагнитной теории. Уравнения поля (18.7) в таком случае принимают вид
-Ziu
16яГм
»uv.a =XWdMliv. (18.86)
Калибровочные условия (18.8а), уравнения поля (18.86) и определение метрики
(18.8в)
— 1 —
g\iv = tIiiv "Ь Kv = 1Iliv “Ь Kv g"
представляют собой основные уравнения линеаризованной теории тяготения в лоренцевой калибровке.
упражнения 18.1. Калибровочная инвариантность римановой кривизны
Покажите, что в линеаризованной теории компоненты тензора Римана равны
RafilSv = ~2 (hav, цЭ ~t"" va ^iiv1 схЭ ^aP. |iv)- (18.9)
Затем покажите, что эти компоненты не изменяются при калибровочных преобразованиях вида, рассмотренного в дополнении 18.2 [уравнение (46)]. Поскольку тензор Эйнштейна есть свертка тензора Римана, то это доказывает, что он также калибровочно инвариантен.
§ 18.1. Линеаризованная теория тяготения 71
18.2. Оправдание лоренцевой калибровки
Пусть в произвольной калибровке задано частное решение уравнений поля линеаризованной теории (18.7). Покажите, что всегда существуют четыре генерирующие функции Ili (t, Xі), калибровочное преобразование с которыми [см. дополнение 18.2, уравие-ние (46)] дает
AHOBnata — о (лоренцева калибровка).
Покажите также, что последующее калибровочное преобразование не изменяет лоренцевой калибровки тогда и только тогда, когда генерирующие функции удовлетворяют волновому уравнению без источника
&“• = 0.
18.3. Внешнее поле статического, сферического тела
Рассмотрите внешнее гравитационное поле статического, сферического тела, описываемое в (почти) лоренцевой системе координат, связанной с телом, т. е. в почти прямоугольной системе координат I Aliv К Ii в которой для всех t тело расположено в точке х = у = z — 0. Используйте лоренцеву калибровку.
а. Покажите, что из уравнений поля (18.86) и калибровочных условий (18.8а) следует
A00 = Ш/(хг + у2 + г*)1'*, h0) = hjk = 0,
hm — hxx = hyy = hzz = 2М/(a? + yz+z2)l/*, Actp = O при а Ф$, где M — постоянная (масса тела, см. § 19.3).
б. Выберите сферические полярные координаты
х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, г = г cos 0
и, считая Aliv и Afiv компонентами тензоров в плоском пространстве-времени (см. конец дополнения 18.2) и используя обычные тензорные законы преобразования, приведите решение «а» к виду
A00 = Ш/г, Ti0J =Jjk -- О,
и 2М ь п ь 2Д/
г * * jk r ^ibnjIOCK*
где gad плоек ~ компоненты метрики плоского пространства-времени в сферической системе координат
^®°плоск ^ ’ ^ггплоск ^ ’ ^®®плоск ** ’
¦¦плоек = Г* Sin2 0> ?“0„лоск = 0 при а Ф р.
Отсюда заключаем, что обще релятивистская метрика в линейном приближении имеет вид
= -(1 — 2M/r) dt2 + (I + 2M/r) (dr* + АЮ* + г2 sin2 0 йф2).
в. Выведите это общее статическое сферически-симметричное лоренц-калибровочное вакуумное решение линеаризованных уравнений поля с самого начала, работая полностью в сферических
