Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
г. Соответствие с линеаризованной теорией. В пределе слабых гравитационных полей, HO ВОЗМОЖНО СИЛЬНЫХ скоростей и больших давлений (v ~ I, Tjk ~ ~ Г00), общая теория относительности сводится к линеаризованной теории тяготения. Это соответствие изложено в гл. 18.
§ 17.5. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ТЕОРИИ ЭЙНШТЕЙНА
Можно ли найти наиболее сжатую и приемлемую аксиоматическую структуру общей теории относительности? И затем из аксиом вывести уравнение поля Эйнштейна
G - 8яТ?
Такой подход был бы традиционным. Однако, возможно, он устарел сегодня, ведь с 25 ноября 1915 г. прошло более чем полстолетия. Все это время уравнение оставалось неизменным, если не учитывать временного «заблуждения» Эйнштейна, связанного с введением космологической постоянной. В противоположность этому выводы уравнения эволюционировали и становились все более многочисленными и разнообразными. Вначале аксиомы указывали, какое уравнение допустимо. Теперь уравнение указывает, какие аксиомы допустимы. (Ряд наборов аксиом и следующих из них выводов уравнения Эйнштейна приводится в дополнении 17.2.)
Дополнение 17.2. ШЕСТЬ МАРШРУТОВ К ЭЙНШТЕЙНОВСКОМУ ГЕОМЕТРОДИНАМИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ РАВЕНСТВА КРИВИЗНЫ И ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ («УРАВНЕНИЕ ПОЛЯ ЭЙНШТЕЙНА»)
!Читателям курса 1 рекомендуем только маршрут 1 (автоматическое сохранение источника плюс соответствие с ньютоновской теорией) и маршрут 2 (вариационный принцип Гильберта) и даже читателям курса 2 советуем закончить остальную часть
Уравнение похя Эйнштейна можно вывести многими способами {дополнение 17.2)
§ 17.5. Аксиоматический подход к теории Эйнштейна 49
I
этой главы прежде, чем изучать маршрут 3 (физика пространственноподобного сечения), маршрут 4 (ведущий от суперпространства к уравнению Эйнштейна), маршрут 5 (поле спина 2 в «ненаблюдаемом плоском пространственно-временном фоне) и маршрут 6 (гравитация как упругость пространства, что следует из физики элементарных частиц).]
1. Параллельное рассмотрение моделей геометродинамики и электродинамики и изложение в качестве главных пунктов «автоматического сохранения источника» и «принципа соответствия ньютоновской теории тяготения».
[а. В электродинамике частица реагирует на поле, в общей теории относительности — на геометрию.
б. Потенциалом электромагнитного поля служит 4-вектор А (с компонентами A^). Потенциалом геометрии является метрический тензор g (с компонента-
Siiv)'
в. Потенциал электромагнитного поля удовлетворяет волновому уравнению с источником (4-ток) в правой части
для которого автоматически выполняется закон сохранения Iі = 0 (вследствие тождества, справедливого для левой части). По аналогии геометродинамический потенциал также должен удовлетворять волновому уравнению с источником (тензор энергии-импульса) в правой части
для которого «автоматически» выполняется закон сохранения (гл. 16). Последнее происходит потому, что левая часть (2) является тензором (тензор Эйнштейна, см. дополнение 8.6 или гл. 15), который построен из компонент метрики и их вторых производных и для которого справедливо тождество G,IV; v = 0.
г. He существует другого тензора, удовлетворяющего этому тождеству, который был бы 1) линейным по вторым производным метрических компонент,
2) не содержал бы высших производных и 3) исчезал бы в плоском пространств е-в ремени.
д. Постоянная пропорциональности 8л фиксируется выбором единиц (в данном случае геометрических; см. дополнение 1.8) и требованием («соответствие ньютоновской теории»), чтобы пробная частица колебалась взад и вперед в сгустке вещества плотности р или вращалась с частотой со2 = (4я/3) р по круговой орбите вокруг сгустка вещества (фиг. 1.12). В предыдущем тексте упрощенно изложены соображения, которым следовал Эйнштейн при выводе своего уравнения поля, при этом ошибки, допущенные им в то время, опущены. Эти соображения подробно разобраны в тексте гл. 17.
2. Возьмем за основу вариационный принцип.
а. Построим из компонент метрики единственный существующий скаляр, который 1) линеен по вторым производным метрического тензора, 2) не содержит высших производных и 3) исчезает в плоском пространстве-времени, а именно построим скалярный инвариант римановой кривизны Д.
(1)
(2)
4-01508
2
50 17^Rait масса-анергия порождает, кривизну
б. Построим инвариантный интеграл
<3>
Q
в. Наложив малые вариации Sgllv на метрические коэффициенты внутри четырехмерной области ?2, найдем, что этот интеграл изменится на величину
67=тЫ ^v6gtiv (_ ^vid4*- (4)
а
г. Потребуем, чтобы интеграл I был экстремален по отношению к выбору геометрии внутри области Q (б/ = 0 для произвольных Sgliv; «принцип экстремального действия»).
д. Тем самым приходим к уравнению поля Эйнштейна в пустом пространстве
• Gliv = 0. (5)
е. Дополнительные соображения приводят к тождеству
GlivIv = 0.
В гл. 21, посвященной вариационному принципу, дан более подробный вывод этого тождества с учетом дополнительного члена, появляющегося в правой части (5) в присутствии вещества или полей, или и вещества и полей.
