Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
справедливой для каждого пространственноподобного сечения пространства-времени, проведенного в произвольной точке zP.
л. Вся геометродинамика Эйнштейна содержится в этой формуле настолько точно, насколько вся электродинамика Максвелла содержится в формуле «число силовых линий, оканчивающихся в элементе объема, равно числу 4л, умноженному на величину заряда в этом элементе объема». Коэффициент 16л специфичен для геометрической системы единиц, используемой в этой книге (плотность р, выраженная в см-2, равна произведению Glc2 = 0,742X XlO-28 см/гна плотностьробычні выраженную в обычных единицах г/см8).
м. Перепишем принцип «масса-энергия искривляет пространство» в виде
2uaGa&u& = 16л иаТа&и& (13)
и потребуем, чтобы это уравнение было справедливо на каждой гиперповерхности одновременности, проведенной через точку SP с любым наклоном U.
н. Из условия равенства коэффициентов в левой и правой частях уравнения (13) получаем уравнение Эйнштейна на языке компонент
Gap = 8лГа3; (14)
или на языке абстрактных геометрических величин
G = 8л Т. (15)
Переход от суперпространства к уравнению Эйнштейна, а не от уравнения
Эйнштейна к суперпространству
а. Четвертый маршрут к уравнению Эйнштейна начинается с геометродина-
мики повышенного типа (см. гл. 43). Динамика геометрии развертывается здесь в суперпространстве. Суперпространство имеет конечное число измерений. Любая отдельная точка суперпространства описывает полную
3-геометрию {В)& со всеми ее выпуклостями и искривлениями. Под динамикой геометрии понимается переход от точки к точке в суперпространстве.
б. Подобно динамике частицы, динамика геометрии допускает различные, но эквивалентные математические формулировки, связанные с именами Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона — Якоби. Наиболее удобна для настоящего анализа последняя формулировка.
в. В задаче об одной частице, движущейся в одном измерении под влиянием потенциала У (х), уравнение Гамильтона — Якоби гласит:
<16>
полная кинетическая энергия энергия
§ 17.5. Аксиоматический подход к теории Эйнштейна 55
2
Оно имеет решение
X
Sb(х, *) = -Et+ j [2т{Е — У)]Vadx. (17)
Из этого решения движение находится путем применения «условия усиливающей интерференции»
dSE (х, Q __ Q
дЕ
(одно уравнение для двух величин X и t; дополнительно об условии усиливающей интерференции и общий подход к методу Гамильтона — Якоби см. в дополнениях 25.3 и 25.4).
г. В соответствующем уравнении, описывающем динамику геометрии, рассматривается функция 3-геометрии S=S ((Я)&). Она зависит от самой 3-геометрии, а не от капризов выбора координат или соответствующих причуд в метрически коэффициентах 3-геометрии)
ds2 = ™gmndxmdxn (19)
(символ'3’, означающий 3-геометрию,далее для простоты опущен). Эта функция подчиняется уравнению Гамильтона — Якоби [аналог уравнения (16)]:
-(16л)2 -щ- (gimSln + gingjm-Sllgmn) -Щ- 1^7+ ‘3)Д =16ltP- (20)
д. Из этого уравнения для динамики геометрии в суперпространстве с помощью рассуждения, аналогичного тому, которое было использовано при переходе от (17) к (18), можно вывести [49] уравнение поля Эйнштейна.
е. Оказывается, что следует менять основы теории, если считать «уравнение Эйнштейна — Гамильтона — Якоби» (20) более основным, чем следующее из него уравнение поля Эйнштейна. (Так было сделано Хожманом, Kyxap-жом и Тайтельбомом, препринт, 1973 г.)
Геометродинамика Эйнштейна как стандартная теория поля спина 2 в «ненаблюдаемом плоском пространственно-временном» фоне.
а. Этот подход к уравнению поля Эйнштейна имеет долгую историю, ссылки на литературу можно найти в § 7.1 и 18.1. (Дальнейшее обсуждение подхода можно найти в этих двух параграфах, дополнениях 7.1 и 18.1 и упражнении 7.3.)
б. Следующее резюме цитируется по Дезеру [50]: «Мы хотели дать простой физический вывод нелинейности..., используя известный теперь аргумент ..., ведущий от линейного, безмассового поля спина 2 к полной системе уравнений Эйнштейна...»
в. «Уравнения Эйнштейна можно вывести негеометрическим путем, замечая, что уравнения свободного, безмассового поля спина 2
R Iiv (ф) 2~ ^ Ota(^)1Iuv = G" HV (Ф) = [(IVaTlva Т]цуТ]ар) П Ч-
“Ь TJ^vSaSp-f~ Т}арЗц5у 1IuaSvSp TJvpS11Sa] фа& = 0, (21)
источником для которых служит тензор энергии-импульса Tliv вещества, в действительности должны быть связаны с полним тензором энергии-импульса, включающим само поле ф. Иначе говоря, уравнения (21) для свободного
2
56 17. Как масса-знершя порождает, кривизну
поля в том виде, в котором они записаны, полностью совместны, а при учете динамической системы с источником Tiiv они уже не будут совместны. Дело в том, что левая часть этих уравнений, имеющая тождественно равную нулю дивергенцию, будет не совместима с правой частью, поскольку связь с полным тензором энергии-импульса подразумевает, что Tliviv, вычисленные из уравнений движения вещества, больше не сохраняются».
г. «Чтобы исправить это [нарушение принципа сохранения энергии-импульса], в правую часть (21) вписывается тензор напряжений <2)0UV> построенный с помощью квадратичного лагранжиана (2)L, из которого выведено уравнение (21)».
