Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2) G строится только из метрики и тензора римановой кривизны;
3) G отличается от других тензоров, построенных из тензора Римана и д, рядом свойств: а) он, как это подобает естественной мере кривизны, линеен по тензору Римана, б) как и Т, он второго ранга и симметричен и в) его дивергенция автоматически равна нулю
V-G = O. (17.4)
С точностью до постоянного множителя существует только один тензор (упражнение 17.1), который удовлетворяет этим требованиям, т. е. является автоматически сохраняющимся тензором второго ранга, линейным по кривизне и исчезающим в плоском пространстве-времени. Это тензор кривизны Эйнштейна G, выраженный в гл. 8 через тензор кривизны Риччи:
Bvlv = RaVi ач,
1 (17.5)
Gvlv — Rliv 2" •
В гл. 15 этой величине был придан образный смысл «момента поворота кривизны», или более просто «момента поворота», полученного двукратным дуалировацием риманова тензора кривизны
<5= *R* (17.6а)
3*
Уравнение,
описывающее
как вещество
порождает
тяготение,
должно иметь вид
В = хТ,
где T — тензор
энергии-импульоа
Своиства( которыми должен обладать тензор В
Доказательст во того, что тензор В должен быть тензором кривизны Эйнштейна (гл. 8)
I
36 17. Как масса-энергия порождает кривизну
Вычисление коэффициента п ропо рциональ-ноети X (в уравнении В = хТ)
путем сравнения общей теории относительности
О НЬЮТОНОВСКОЙ
теорией тяготения
и последующим свертыванием этой величины
Gliv = CVv (17.66)
В гл. 15 было показано, что равенство нулю V-G есть следствие элементарного топологического принципа «граница границы равна нулю».
Для вычисления коэффициента пропорциональности х в «уравнении поля Эйнштейна» G = хТ можно провести сопоставление с хорошо проверенной ньютоновской теорией тяготения. Для облегчения сравнения исследуем относительное ускорение (геодезическое отклонение) частиц, падающих в трубке, вставленной в обладающую однородной плотностью р идеализированную Землю (фиг. 1.12). По Ньютону относительное ускорение определяется плотностью, по Эйнштейну оно определяется римановой кривизной пространства-времени. Прямое сравнение ньютоновского и эйнштейновского предсказаний в ньютоновских координатах (где ^RV tIrv) приводит K СООТНОШЄНИЮ
R00 - Ra0a0 = 4лр. (17.7)
(Детали вывода см. в § 1.7, подробное обсуждение ньютоновской теории тяготения с использованием этого уравнения см. в гл. 12.) В применении к области внутри Земли уравнение поля Эйнштейна G = хТ должно, таким образом, сводиться к уравнению Д00 = = 4яр. В компонентной форме уравнение поля Эйнштейна гласит:
Gjlv = R\XM 2~ SV-^R — IAV*
Его свертка равна
—R =R — 2 R = х Г.
В результате оно предсказывает, что
Roo - ~2~ SooR "4~ хГоо = ~2 х (2T1оо — gooT) =
— 1
= S-^T00 + (П + Tii)] = \ х (T100 + Ti1).
Это сводится к уравнению
R00 — ~2~ *Ф> (17.8)
если вспомнить, что для Земли, как для любой почти ньютоновской системы, напряжения Tjk очень малы по сравнению с плотностью массы энергии T00 = р:
Г)ь давление dp, ...
~ --------------------Vtl (скорость звука)2 « 1.
T00 плотность dp '
§ 17.1. Автоматическое сохранение источника как важнейшая идея 37
I
Уравнение R00 = 4яр (выведенное путем сравнения относительных ускорений в ньютоновской и эйнштейновской теориях) и урав-
нение R00 = Y хр (полученное непосредственно из уравнения поля
Эйнштейна) могут быть согласованы, если только постоянная пропорциональности х равна 8я.
Таким образом, уравнение поля Эйнштейна, описывающее генерацию кривизны массой-энергией, должно иметь вид
Е = 8яТ. (17.9)
Левая сторона этого уравнения («кривизна») имеет размерность см-*, поскольку тензор кривизны представляет собой линейную машину, в которую закладывается смещение (размерность: см), а на выходе получается относительное ускорение (размерность: см/с2 ~ см/см2 ~ см"1). Размерность правой стороны уравнения также см-2, поскольку это линейная машина, в которую закладывается 4-скорость (безразмерная) и выдается плотность массы [размерность г/см3 ~ см/см3~ см~2; напомним, что из уравнения (1.12) и дополнения 1.8 следует, что 1 г = (1 г) X (Glc2) = = (1 г).(0,742-IO"28 см/г) = 0,742-10"28 см].
Это завершает простейший вывод уравнения поля Эйнштейна и устанавливает его соответствие с ньютоновской теорией тяготения в ньютоновском пределе. Такое соответствие необходимо для определения коэффициента и — 8л в правой части уравнения (17.9). Помимо нахождения этого коэффициента, центральным пунктом вывода было требование существования единственной тензорной меры кривизны G с тождественно равной нулю дивергенцией.
17.1. Единственность тензора Эйнштейна
а. Покажите, что наиболее общим симметричным тензором второго ранга, построенным из тензора Римана и метрического тенвора g и линейным по тензору Римана, является тензор
Я-йаР + bRga р + AgctP =
= O-AliotliP + Wffivliv^ap + Agctp, (17.10)
где а, і и A — постоянные.
б. Покажите, что у этого тензора дивергенция тождественно
равна нулю тогда и только тогда, когда Ъ = — ~а.
