Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
I Ф К 1. (17.156)
УПРАЖНЕНИЕ
Условия, которым должна удовлетворять система, чтобы ньютоновская теория тяготения была точной
I
44 17. Как масса-энергия порождает кривизну
Определение « ньютоновских» иоорджнат
Внутренние напряжения в системе также порождают движение, например звуковые волны. Такие волны имеют характерные скорости порядка I Ti3IT00 \1!*, например скорость звука в идеальной жидкости равна
V = (dp/dp)lh ~ (р/р)1'* ~ I TliZT00 |1/а.
Чтобы эти скорости были малы по сравнению со скоростью света, все напряжения должны быть малыми по сравнению с плотностью-массы-знергии
|r;'l/r°° = |rij|/p< 1. (17.15в)
Тогда и только тогда, когда выполнены условия (17.15), ньютоновская теория может точно описать исследуемую систему. Пассивная роль соответствия между общей теорией относительности и ньютоновской теорией тяготения сводится к требованию, чтобы геодезические мировые линии свободно падающих частиц переходили в ньютоновские мировые линии
(IsXiIdt2 = —дФ/дхі. (17.16)
Более того, они должны сводиться к этой форме в любой релятивистской системе координат, где источник и пробные частицы имеют малые скорости I1 а координатные длины и времена приблизительно совпадают с ньютоновскими длинами и временами, которые в свою очередь являются собственными длинами и временами, измеряемыми стержнями и часами. Поэтому уместны координаты (называемые «галилеевыми;» или «ньютоновскими» координатами), в которых
guv = Tluv +Afiv, I^11V К 1> І Vі I = I (Ix3Idt |< 1 (17.17)
(слабое гравитационное поле, почти инерциальная система координат, малые скорости). В такой системе координат геодезические мировые линии пробных частиц имеют вид
(поскольку dt/dx « 1 при | Allv |< 1 и | V3 [ < 1),
= ~ Гга0 (уравнение геодезических),
= -P00 (поскольку dt/dx яа 1 и | dx3/dx | 1),
= — Г(оо (поскольку guv « Tluv),
—у Аоо, і — Ад/, о (выражение TaPv через gap, v)-
/малость всех скоростей по сравнению со скоростью\ = 2 Асо. 11 света с означает, что временные производные малы P Vno сравнению с пространственными, т.е. Ааэ.о—VaP. і'
Эги геодезические мировые линии должны в действительности сводиться к мировым линиям ньютоновской теории [уравнение
§ 17.4. Ньютоновский предел 45
I
{17.16)1, если провести следующее отождествление:
Ti00=-уйоо. і =Ф,і. (17.18)
Вместе с граничными условиями Ф (г = оо) = 0 и Ziliv (г = оо) = = 0 (координаты Лоренца вдали от источника) это отождествление означает, что Zi0о = —2Ф, т. е.
g00 = —1 — 2Ф для почти ньютоновской системы
в ньютоновских координатах. (17.19)
Заметим, что принцип соответствия указывает вид Zi00 для почти ньютоновской системы, но не указывает вид других компонент возмущения метрики. В действительности остальные Ziliv могут иметь тот же порядок величины, что и Zi00 ~ Ф, не оказывая влияния на мировые линии медленно движущихся частиц, поскольку в уравнении геодезических они умножаются на малые числа v или V2 или дифференцируются по t, а не по Xі. Вид остальных Auv и их влияние на ньютоновское движение будут рассмотрены в гл. 18, 39 и 40.
Соотношение g00 = —1 — 2Ф служит математическим воплощением соответствия между общей теорией относительности и ньютоновской теорией для пассивных аспектов гравитации. Вместе с «условиями применимости» (17.15) и (17.17) оно служит основанием для вывода всех других аспектов соответствия «пассивной гравитации», включая соотношение
Riojo = д2Ф/дх{ dxj (17.20)
(упражнение 17.6). Альтернативно все другие аспекты этого соответствия можно вывести путем прямого сравнения ньютоновских и эйнштейновских предсказаний. Например, для вывода уравнения (17.20) исследуем относительное ускорение двух пробных частиц, одна из которых находится в точке х1 + Iі, а другая— в точке Xі. В соответствии с Ньютоном
rf2!*_ d2 (Xі -4- Iі) _Ipxi _ дф , ЗФ
да — dtz dt2 — dxi вжі+5і~‘" дхі
С другой стороны, Эйнштейн предсказывает (уравнение геодезического отклонения)
d-fl ~ dfi ~ woS • t
-—в силу условий (17.15) и (17.17)
Прямое сравнение этих равенств приводит к соотношению (17.20).
Обратимся теперь от соответствия для пассивных аспектов тяготения к соответствию для активных аспектов. Согласно эйнштейновскому геометродинамическому закону G = 8яТ, масса
...
ХІ дх1 дхі
Теория тяготения Эйнштейна сводится к ньютоновской теории тяготения, если только в ньютоновских координатах g„ = -1 - 2Ф
Соответствие между теорией Эйнштейна а ньютоновской теорией для всех «пассивных» аспектов гравитации
I
46 J7. Как масса-энергия порождает, кривизну
порождает тяготение (кривизну пространства-времени). Применим этот закон к почти ньютоновской системе и с помощью цепи рассуждений, приведших к уравнению (17.8), выведем соотношение
R00 = 4яр. (17.21)
Комбинируя его со сверткой уравнения (17.20)
R00 = RiOiO + R0 ООО = O2OIdZ1 дх1 = V4D,
t
0
получаем ньютоновское уравнение, описывающее генерацию тяготения массой
V2CD = 4л р. (17.22)
Таким образом, уравнение поля Эйнштейна переходит в ньютоновском пределе в уравнение поля Ньютона.
