Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ж. Этот подход восходит к Давиду Гильберту [47]. Более короткого пути к уравнениям поля нет. Более того, он непосредственно связан (см. ниже п. 2')
с квантовым принципом «демократичности всех историй» [48, 49]. Вариа-
ционный принцип подробно разобран в гл. 21.
Оставшаяся часть этой главы предназначена для читателей курса 2. Ее можно читать без проработки какого-либо предварительного материала, и в свою очередь она не является предварительным материалом для последующих глав, но будет полезна в гл. 21 (вариационный принцип в начальные данные) и в гл. 39 (другие теории тяготения)
2'. Отдельно о смысле классического интеграла действия для реального мира,
описываемого квантовой физикой.
а. «История геометрии» H представляет собой пространство-время, т.е. четырехмерное многообразие с четырехмерной метрикой Римана — + + +, которая 1) на одной пространственноподобной гиперповерхности («гиперповерхности одновременности») сводится к особой «начальной 3-геометрии» А с положительно определенной метрикой и 2) на другой пространственноподобной гиперповерхности сводится к особой «конечной 3-геометрии» В также с положительно определенной метрикой.
б. Классический вариационный принцип Гильберта, переформулированный Арновиттом, Дезером и Мизнером, для динамической длины пути Ih любой мыслимой истории Н, допустимой или нет классически, дает рецепт, связывающий А и В. (Более подробную формулировку того, что может и должно быть задано на начальной и конечной гиперповерхностях одновременности, и альтернативный выбор подынтегрального выражения в принципе действия см. в гл. 21.)
§ 17.5. Аксиоматический подход к теории Эйнштейна 51
2
в. Классическая физика гласит, что история H допустима, только если она экстремивует динамическую длину пути I по сравнению со всеми соседними историями. Квантовая физика утверждает, что все истории имеют одинаковую амплитуду вероятности в следующем смысле. Амплитуда вероятности перехода «динамической геометрии пространства от А к В» посредством истории H с интегралом действия Ih и посредством историй, лежащих в данной бесконечно малой окрестности 3) H истории Н, дается выражением
Здесь N — нормировочный коэффициент, одинаковый для всех мыслимых, допустимых или недопустимых историй H, которые ведут от А к В («принцип демократичности историй»). Угловой момент Й = hi2л, выраженный в геометрических единицах, имеет величину
где L* — планковская длина, L* — 1,6-IO-33 см.
г. Классически допустимая история получает «преимущество без преимущества». Эта история и истории Н, которые отличаются от нее настолько мало, что SI-Ih — I класс порядка или меньше Ti, дают вклады в амплитуду вероятности, интерферирующие с усилением. В противоположность этому вклады (в амплитуду вероятности перехода) от историй, отличающихся от классически допустимой истории на большую величину, гасятся при интерференции. Таким образом, имеются квантовые флуктуации геометрии, но эти флуктуации ограничены по величине. Малость H гарантирует, что масштаб этих флуктуаций не заметен на обычных расстояниях (дальнейшее обсуждение см. в гл. 43 и 44). В этом смысле классическая геометродинамика является хорошим приближением к геометродинамике реального мира, описываемого квантовой физикой.
«Физика на пространственноподобном сечении или гиперповерхности одновременности». В качестве модели вновь выбран электромагнетизм.
а. Скажите много раз «магнитные силовые линии никогда не кончаются» и придете к половине уравнений Максвелла. Повторите много раз «электрические силовые линии оканчиваются только на заряде» и получите другую половину уравнений Максвелла. Аналогично, скажем много раз
/скаляр внутренней\ і /скаляр внешней\ _ ^gjt /локальная плотность\ /g^
\ кривизны / \ кривизны / \ массы-энергии /
и получим 10 компонент уравнения Эйнштейна. «Многократное повторение»— это сокращенное выражение требования справедливости сформулированных принципов на каждом пространственноподобном сечении каждого события пространства-времени.
б. Расшифруем точно эту формулировку уравнений Эйнштейна и Максвелла на «пространственноподобном сечении». Рассмотрим произвольную точку 3і
(6)
h = ЙоВычн Glc3 = (Ь*У,
(7)
2
52 17. Как масса-энергия порождает, кривизну
пространства-времени («событие») и произвольную «гиперповерхность одно* временности» ЗР, проходящую через «Э5 (пространственноподобное сечение пространства-времени). Магнитные силовые линии пронизывают всю аР, но ни одна из них нигде не кончается. Напомним (§ 3.4), что требование «магнитные силовые линии нигде не кончаются», наложенное на все системы отсчета в 3і (для всех выборов поверхности «одновременности» cJ°), обеспечивает не только справедливость V-B = 0, но и дает уравнение Vxi! + + dB/dt = 0. Аналогично (§ 3.4), требование «электрические силовые линии могут оканчиваться только на заряде» V-E = AnJ0, будучи наложенным на все гиперповерхности одновременности, проходящие через 3і, приводит к оставшемуся уравнению Максвелла V х В = dEldt + 4л J.
