Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
«Одновременность» JP (пространственноподобная гиперповерхность или «сечение пространства-времени»), проходящая через событие 3а. «Одновременность» определяется набором «наблюдателей» а, Ь, с .... Мировые линии наблюдателей пересекают одновременность в ортогональном направлении, а ьих часы отсчитывают собственное время в момент пересечения. Другая одновременность, проходящая через J01 может иметь в Л6 другую (.¦кривизну или наклон (или то и другое одновременно) и определяется другим набором наблюдателей с другими наручными часами.
в. Каждая гиперповерхность одновременности а?, проведенная через точку 1 имеет собственный наклон и кривизну. Возможность различных наклонов (различных локально лоренцевых систем отсчета в <Э*) существенна для вывода всех уравнений Максвелла из требований сохранения потока. В отличие от наклона кривизна гиперповерхности & никогда не играет роли при анализе электромагнетизма. Она существенна, однако, при анализе гравитации, моделируемой на основе вышеизложенной трактовки электромагнетизма.
г. «Масса-энергия искривляет пространство»— основной принцип гравитации. Расшифровка этого принципа требует последовательного рассмотрения терминов «пространство», «кривизна пространства» и «плотность массы-энергии в данной области пространства». «Пространство» означает пространственноподобную гиперповерхность, или, более специально, гиперповерхность одновременности аР, содержащую точку аТ5, в которой исследуется физика.
д. Обозначим 4-вектор нормали к & в точке Sli через и. Тогда плотность массы-энергии на пространственноподобной гиперповерхности JP в точке SP равна
р = UaTa^, (9)
в соответствии с определением тензора энергии-импульса, данным в гл.5.
е. Плотность представляет собой отдельное число, зависящее от наклона сечения, проводимого в пространстве-времени и не зависящего от кривизны сечения. Поскольку она приравнивается «кривизне пространства», то и кривизна также не должна зависеть от того, насколько искривлен разрез.
11
§ 17.5. Аксиоматический подход к теории Эйнштейна 53
2
ж. Делаем вывод, что геометрическая величина «кривизна пространства» должна быть 1) одним числом (скаляр), 2) зависеть от наклона и разреза, проводимого в пространстве-времени в точке 3і при построении гиперповерхности (5е, но 3) не зависеть от искривления разреза. Последнее требование кажется парадоксальным. Требуется мера кривизны, не зависящая от кривизны!
з. Более пристальное рассмотрение показывает, что мы имеем здесь дело с тремя отдельными понятиями. Одно из них — скалярный инвариант кривизны (3)Л 3-геометрии, внутренней по отношению к гиперповерхности 3* в точке Si: «внутренней» в том смысле, что она определяется и зависит исключительно от измерений расстояния в пределах гиперповерхности. Второе — «внешняя кривизна» этой 3-геометрии относительно 4-геометрии окружающего пространства-времени («насколько искривлен разрез»; дополнительно об отличии внутренней и внешней кривизны см. дополнение 14.1). Третье — кривизна самого четырехмерного пространства-времени «нормальная к и», в некотором смысле это понятие еще должно быть определено более точно. Последняя величина не зависит от того, насколько искривлен разрез, и с точностью до коэффициента, зависящего от выбора единиц измерения, должна быть отождествлена с плотностью массы-энергии.
и. Эти три величины связаны следующим образом:
(скалярный инвариант кривизны (31Д 3-геометрии, внутренней\ по отношению к пространственноподобной гиперповерхности \ .
S’,— величина, зависящая от того, «насколько искривлен I ' разрез» /
/ поправочный член, который а) зависит только от «внешней \
кривизны» Ka з (дополнение 14.1 и гл. 21) гиперповерхности относительно 4-геометрии, в которую она погружена, б) вычислен (однозначно определенным образом) так, что сумма этого поправочного члена и <3>Д не зависит от того, «насколько искривлен разрез», и в) имеет определенную величину \ (SpfC)2 - (SpK2) э [Ka-Y - каЬк<* j
(мера кривизны пространства-времени, которая зависит от 4-геометрии пространства-времени и наклона и пространственноподобного сечения сР, проведенного в пространстве-времени, но не зависит по построению от того, «насколько искривлен разрез»
(скалярная величина, которая а) полностью определена только что сказанным и, следовательно,
б) может быть полностью вычислена с помощью стандартной дифференциальной геометрии (подробнее см. в гл. 21)
_( 2 UaGaeIiP, где Ga0 — тензор кривизны Эйнштейна
— \ из уравнения (8.49) и дополнения 8.6
/величина, интерпретированная в курсе 2 гл. 15 как «момент =21 вращения», связанный с единичным элементом 3-объема, |. (10)
\ локализованным в точке S5 гиперповерхности, ортогональной и,
2
54 17. Как масса-энергия порождает кривизну
к. Делаем вывод, что основной принцип «масса-энергия искривляет пространство» сводится к формуле
(3>Д + (SpK)2 - SpK2 = 16лр (Ii)
или в более краткой форме
/ момент \ _ /внутренняя \ I /внешняя \ _ /ПЛОТНОСТЬ \ ,лп\
\ вращения / \ кривизна / V кривизна / V массы-энергии / ’
